单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\frac{\left|x^3+x^2-2 x\right| \cdot|\ln | x| |}{x^2-1} e ^{\frac{1}{x-2}}$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)$ 有 1 个可去间断点， 2 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 1 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 2 个跳跃间断点，没有第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有 3 个可去间断点， 1 个第二类间断点
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \cot x, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 的四阶麦克劳林公式为 $a+b x^2+c x^4+o\left(x^4\right)$ ，则 $a+b+$ $c=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{29}{45}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{15}$
函数 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}} \sin ^2 t d t$ 在 $[0, \pi]$ 上的最小值和最大值分别为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}$
设 $x_n=\frac{2}{n}+(-1)^n e ^{(-1)^n n}$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}(\quad)$
$\text{A.}$ 有下界，但没有最小值
$\text{B.}$ 有下界且有最小值
$\text{C.}$ 有上界，但没有最大值
$\text{D.}$ 有上界且有最大值
已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$ ，其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $f(0,0)=0$ ， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$ ，则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续，但偏导数不存在
$\text{C.}$ 连续，偏导数存在但不可微
$\text{D.}$ 可微
$\lim _{x \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)}=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y)} d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^p(1-x)^{1-p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 2)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为四阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $\boldsymbol{A}^*$ 的秩是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量．则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若矩阵 $A , B$ 相似，则不一定存在矩阵 $P _1, P _2$ ，使得 $A = P _1 P _2, B = P _2 P _1$
$\text{B.}$ 若存在可逆矩阵 $P$ ，使得矩阵 $A , B$ 都可相似对角化，则 $A B = B A$ 不一定成立
$\text{C.}$ 若 $n$ 阶矩阵 $A , B$ 都满足矩阵方程 $X ^2=\lambda X (\lambda \neq 0)$ ，则矩阵 $A , B$ 相似的充要条件为 $r( A )=r( B )$
$\text{D.}$ 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则矩阵 $A ^{ T } A$ 的特征值均大于 0
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $y=x^{2 x}$ 在区间 $(0,1]$ 上的最小值为
设 $f(x)=\frac{1+x e ^x}{1+x}$ ，则 $f^{(5)}(0)=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+y}+\cos (x y)=0$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
设 $g(x)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x}$ 的反函数, 则曲线 $y=g(x)$ 的渐近线方程为
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $S$成正比，比例常数 $\boldsymbol{K}>0$. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时?
设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$, 三维列向量 $\alpha=(a, 1,1)^T$
已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设区域 $D$ 由 $x+y=1, x=1, y=1$ 围成，计算 $\iint_D \frac{\max \{x, y\}}{\sqrt{x^2+y^2}} d x d y$ ．
过曲线 $y=\sqrt{x}$ 上某点 $A$ 作切线, 使之与曲线及 $y$ 轴围成的图形的面积为 $\frac{1}{12}$. 求
（I）过 $A$ 点的切线方程;
(II) 上述图形绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转所得旋转体的体积.
已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求：
（1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离．
（2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，$z=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ 满足 $y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}-\frac{y^2}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+$ $\frac{x^2}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=4 y^2$,
（I）求 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$ ；
（II）若 $\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(u, u)}=\ln |2 u|-u, f(v, v)=2 v \ln |2 v|-v-\frac{v^2}{2}$ ，求 $f(1,1)$ ．
若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调增加的连续函数, 证明:
$$
\frac{\int_0^1 x f^3(x) d x}{\int_0^1 x f^2(x) d x} \geq \frac{\int_0^1 f^3(x) d x}{\int_0^1 f^2(x) d x} .
$$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 0 \\ a & 2 & b \\ 0 & b & 1\end{array}\right)$ ，且 $\alpha =(-1,1,1)^{ T }$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量．
（I）求 $a, b$ ；
（II）求正交变换 $x = Q y$ 将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 化为标准形；
（III）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解．