单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x^4+\left|x^3\right|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1 ;
$\text{B.}$ 2 ;
$\text{C.}$ 3 ;
$\text{D.}$ 4.
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
若 $f(x)=-f(-x)$ ，在 $(0,+\infty)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内（）．
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ；
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ；
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ，
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$,
已知 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2$ ，则当 $n$ 为大于 2 的正整数时， $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)= $
$\text{A.}$ $n[f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $n![f(x)]^{2 n}$
$\text{C.}$ $n[f(x)]^{2 x}$
$\text{D.}$ $n![f(x)]^{n+1}$
若 $f(x)=2^x$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln [f(1) f(2) \cdots f(n)]}{n^2}=$
$\text{A.}$ $\ln 2$ ；
$\text{B.}$ $\frac{\ln 2}{2}$ ；
$\text{C.}$ 1 ；
$\text{D.}$ -1 ．
设 $f(x)=\cos ^2 x$ ，则 $f^{(2026)}\left(\frac{\pi}{4}\right)=$
$\text{A.}$ $2^{2025}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $-2^{2025}$
$\text{D.}$ $-2^{2026}$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，则 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=t e^{-t} \\ y=e^{-t}\end{array}\right.$ ，则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=e}=$
设函数 $y=y(x)$ 由 $x^2+x y+y^3=1$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(1)=$
已知函数 $y=x(x-1)^2(x+2)^3$ ，则 $y^{(6)}=; y^{(7)}=$
若函数 $y=\frac{x^n}{x-1}$ ，则 $y^{(n)}=$
已知 $y=\sin x$ ，则 $\frac{d y^3}{d x^3}=$
设 $f(x)=x^{12} \mathrm{e}^{-3 x^2}$ ，则 $f^{(2012)}(0)=$ $\_\_\_\_$ （答案中用阶乘数＂$k$ ！＂表示）
设 $f(x)=\mathrm{e}^x \sin x$ ，则 $f^{(7)}(x)=$
若 $f(x)=\mathrm{e}^{2012 x} x(x+1)(x+2) \cdots(x+2012)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $y=x^2 \sin 2 x$, 求 $y^{(50)}$.
求正弦函数 $y=\sin (a x+b)$ 与余弦函数 $y=\cos (a x+b)$ 的 $n$ 阶导数．
求函数 $\ln (a x+b)$ 的 $n$ 阶导数
试从 $\frac{d x}{d y}=\frac{1}{y^{\prime}}$ 导出：
（1）$\frac{d^2 x}{d y^2}=-\frac{y^{\prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^3}$ ；
（2）$\frac{d^3 x}{d y^3}=\frac{3\left(y^{\prime \prime}\right)^2-y^{\prime} y^{\prime \prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^5}$ ．
$ y=(x-2)^{50}(x+1)^{20}(2 x+3)^{30}$ ，求 $y^{(100)}$ ．
设 $y=x^{50}(3 x+1)^{30}(2 x-1)^{20}$ ，求 $y^{(100)}$ ．
设 $y=\sin 2 x \cos 3 x \cos 4 x$ ，求 $y^{(n)}$ ．
设 $0 < a < 1$ ，比较 $\cos (\sqrt{2} \cdot a)$ 与 $\sqrt{1+a^4}-a^2$ 的大小．
已知 $f(x)$ 是定义在 $[a,+\infty)$ 上具有任意阶导数的函数，且 $f(a)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证明：对于任意正整数 $k$ ，存在 $x_k \in[a,+\infty)$ ，使得 $f^{(k)}\left(x_k\right)=0$ ．
设 $y=y(x)$ 由方程 $e^y \sin x-y+1=0$ 确定，求 $y^{\prime \prime}(0)$ 。
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定函数 $y=y(x)$, 求 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
求由参数方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=f^{\prime}(t) \\
y=t f^{\prime}(t)-f(t)
\end{array}\right.
$$
（设 $f^{\prime \prime}(t)$ 存在且不为 0 ）所确定的函数的一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 与二阶导数 $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ；
设 $y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$ ，则 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=$
函数 $f(x)=x^2 2^x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=$
设 $x=f(y)$ 是函数 $y=x+\ln x$ 的反函数，求 $\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{~d} y^2}$