单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
$f(x)=\sin \left(x^2-x\right)$ 是
$\text{A.}$ 有界函数；
$\text{B.}$ 周期函数；
$\text{C.}$ 奇函数；
$\text{D.}$ 偶函数．
$x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{2}{1+e^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}$ 的 间断点．
$\text{A.}$ 可去；
$\text{B.}$ 跳跃；
$\text{C.}$ 振荡；
$\text{D.}$ 无穷．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sqrt{\left|x_n\right|}\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+x_n^2\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sin x_n\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$ ．
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$ ．
$\text{C.}$ $k=3, c=4$
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小量中，是 $\ln (x+\sqrt{1-2 x})$ 主部的是（ ）．
$\text{A.}$ $2 x$ ；
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4} x^2$ ；
$\text{C.}$ $-x$ ；
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2} x^2$ ．
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \mathrm{e}^{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t+\cos x-1}{x \tan x}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos 2 x}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续，则 $a=$
数集 $\left\{(-1)^n+\frac{1}{n}\right\}$ 的聚点是
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x \sin \frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}$
找出函数 $f(x)=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 的所有间断点，并判断其类型．
当 $x \rightarrow 1^{+}$时，$\sqrt{3 x^2-2 x-1} \ln x$ 与 $(x-1)^\alpha$ 为同阶无穷小，求 $\alpha$ ．
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{n+2 n}\right)=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}$ ．
（1）写出 $f(x)=\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶带佩亚诺（Peano）余项的泰勒公式．
（2）计算极限
$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left[2(1+x)^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e}(x-2)\right]
$$
设 $x_1=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$ ，证明 $x_n$ 的极限存在，并求之．
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^2-x^3 \sin \frac{1}{x}\right)$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} \mathrm{e}^{-n}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x \sin x-x(1+x)}{x^3}$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$ ；
求函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{|x|(x+1)}$ 的间断点，并判别其类型；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \ln (1+x)-x^2} $
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right) \frac{k+\sin ^2 k}{n^2}$ ．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
按数列极限的 $\varepsilon-N$ 定义，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^2+1}{3 n^2+2}=\frac{2}{3}
$$
设偶函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\phi(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ ，试证明 $\phi(x)$ 为偶函数．