单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 为连续函数，$F(t)=\int_1^t d y \int_y^t f(x) d x$ ，则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$
$\text{B.}$ $f(2)$
$\text{C.}$ $-f(2)$
$\text{D.}$ 0
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^2 f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_1^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{B.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{C.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_1^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^2 f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_1^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{B.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{C.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_1^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$I=\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x$;
$I=\int_0^1 d y \int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{2-y} f(x, y) d x$ ．
$\int_0^1\left(\int_{x^2}^1 \frac{x y}{\sqrt{1+y^3}} d y\right) d x$ ；
$\int_0^2 d x \int_x^2 e ^{-y^2} d y$ ；
计算累次积分 $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{1+x^3} d x$ ．
交换积分顺序 $\int_0^1 d x \int_0^{x^2} f(x, y) d y=$
累次积分 $\int_0^2 d x \int_{x^2}^{2 x} f(x, y) d y$ 交换积分次序后为
交换积分次序： $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int_0^1 \frac{x^b-x^a}{\ln x} d x, \quad(b>a>0)$ ；
$\iint_D \frac{ e ^{x y}}{x^x-1} d x d y, D$ 是由曲线 $y=\ln x, x=2$ 及 $x$ 轴所围的图形；
$\int_0^1 d y \int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} x d x$ ；
$\iint_D \frac{x^2}{y^2} d x d y, D$ 是由 $x y=1, y=x$ 及 $x=3$ 所围成的图形．
计算二重积分 $\iint_D \sin y^2 d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $x+y=1, x=1$ 及 $y=1$所围成的区域。
交换积分次序
（1） $\int_0^1 d y \int_0^y f(x, y) d x$ ；
（2） $\int_1^2 d x \int_{2-x}^{\sqrt{2 x-x^2}} f(x, y) d y$ ．
设区域 $D$ 为 $x^2+y^2 \leq R^2$ ，计算 $\iint_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right) d x d y$ ．
计算二重积分 $\iint_D y^2 d x d y$ ，其中 $D$ 是由圆 $x^2+y^2=2 y$ 与 $y$ 轴在第一象限所围的部分．
计算 $\iint_D(x+y) d x d y$ ，其中 $D$ 是由抛物线 $y^2=x$ 及直线 $y=-x+2$ 所围成的闭区域。
$\int_0^a d x \int_0^x \sqrt{x^2+y^2} d y ;$
交换二次积分 $I=\int_1^2 d x \int_{\frac{1}{x}}^1 y e^{x y} d y$ 的积分次序，并求出 $I$ 的值