一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的基, 则由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 基 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$
设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵$A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha $, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 3 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B A})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A B}\end{array}\right)=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{B A})$.
下列集合构成向量空间的是
$\text{A.}$ $V_1=\{x \mid A x=b\}$
$\text{B.}$ $V_2=\left\{x=\left(1, x_2, x_3\right)^T \mid x_2, x_3 \in R\right\}$
$\text{C.}$ $V_3=\{x \mid A x=O\}$
$\text{D.}$ $V_4=\left\{x=\left(x_1, x_2, x_3\right)^T \mid x_1+x_2+x_3=1\right\}$
二、判断题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, $s \geq 3$, 则 $V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$ 的充分必要条件是 $V=\sum_{i=1}^s V_i$ 且 $\operatorname{dim} V=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} V_i$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, 则存在 $V$ 的真子空间 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ ( $s$ 为正整数), 使得 $V=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_s$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 15 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$, 且 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$
已知向量 $\alpha=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \beta=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ k\end{array}\right]$, 若矩阵 $\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 相似于矩阵 $\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$, 则 $k=$
在复线性空间 $M_3(\mathbb{C})$ (运算为矩阵的加法和乘法) 中, 考虑线性子空间
$$
V=\left\{X \in M_3(\mathbb{C}) \mid X\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 1 \\
-1 & 5 & 7
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\right\},
$$
则 $\operatorname{dim} V=$
在线性空间 $\mathrm{R}^{2 \times 2}$ 中, $\alpha_1=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \quad \alpha_2=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \alpha_4=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 是 一个基, 则向量 $\alpha=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ 在该基下的坐标为
设 $V$ 为次数小于 4 的实系数一元多项式的全体的线性空间, $V$ 上的线性 变换 $T$ 定义为: $\forall f(x) \in V, T(f(x))=f^{\prime \prime}(x)$, 求线性变换 $T$ 在基 $\left\{1, x, x^2, x^3\right\}$ 下的矩阵 $A$.
在殴氏空间 $\mathrm{R}^3$ 中, $\alpha_1=(1,0,0)^T, \alpha_2=(1,1,0)^T, \alpha_3=(1,1,1)^T$ 是一个基, 求 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的度量矩阵 $A$.
殴氏空间 $\mathrm{R}^2$ 中, 基 $\alpha_1, \alpha_2$ 下的度量矩阵为 $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right)$, 则向量 $2 \alpha_1+\alpha_2$ 与 向量 $\alpha_1-\alpha_2$ 的夹角 $\theta=$
在 3 维欧氏空间 $\mathbb{R}^3=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right): x, y, z \in \mathbb{R}\right\}$ (通常的内积)中建立了右手坐标系, 定义 旋转变换 $\rho$ : 旋转轴为起点在原点的向量 $(1,1,1)$, 旋转角为 $\frac{2 \pi}{3}$ (逆时针方向). 即 $\rho$ 把全体起 点在原点的向量绕轴转动 $\frac{2 \pi}{3}$.
(1) 求 $\rho$ 在 $\mathbb{R}^3$ 的标准基下的矩阵.
(2) 求 $\rho$ 的全部不变子空间.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 同为 $n$ 阶方阵.
(1) 证明: $\left(\begin{array}{cc}A B & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & B A\end{array}\right)$ 相似.
(2) 证明: $\boldsymbol{A B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 有相同的特征多项式.
线性空间 $E$ 上一个线性变换 $\varphi$ 称为半单的, 如果对 $\varphi$ 的每个不变子空间 $E_1 \subseteq E$, 都存在 $\varphi$ 的不变子空间 $E_2 \subseteq E$, 使得 $E=E_1 \oplus E_2$.
证明: 若 $\varphi$ 是线性空间 $E$ 上的半单变换, $E_1$ 是 $\varphi$ 的一个不变子空间, 则 $\varphi$ 限制在 $E_1$ 上也是 半单的.
向量 $\gamma$ 在 $\alpha_1=[1,0,1]^T, \alpha_2=[0,1,-1]^T, \alpha_3=[1,2,0]^T$ 下的坐标是 $[5,7,-4]^T$, 则 在 $\beta_1=[1,0,1]^T, \beta_2=[-1,1,1]^T, \beta_3=[1,-2,-2]^T$ 下的坐标是
多项式 $f(x)=2 x^4-3 x^3+2 x^2-1$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的标准分解式为
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基, $\alpha_1, \alpha_2 \in V$, 已知 $\left(\varepsilon_1, \alpha_1\right)=1,\left(\varepsilon_1, \alpha_2\right)=-1,\left(\varepsilon_2, \alpha_1\right)=2$, $\left(\varepsilon_2, \alpha_2\right)=1$, 则向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 的夹角为
设向量 $\boldsymbol{\xi}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-3,1,0)^{\mathrm{T}}$ 线性表出, 也可由向量 $\boldsymbol{\beta}_1=(3,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=$ $(2,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 线性表出, 则 $\boldsymbol{\xi}=$
已知向量 $\alpha=(1,2,-2)^T, \beta=(2, t, 3)^T$, 且 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交, 则 $t=$
四、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ k \\ 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 线性相关, 求常数 $k$, 并找出一个最大无关组, 并用该最大无关组线性表示其余向量
设 3 维向量空间有两个基 $e_1, e_2, e_3$ 和 $e_1^{\prime}, e_2^{\prime}, e_3^{\prime}$, 它们满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{e}_1^{\prime}=e_1-\boldsymbol{e}_2, \\
e_2^{\prime}=2 e_1+3 \boldsymbol{e}_2+2 \boldsymbol{e}_3, \\
\boldsymbol{e}_3^{\prime}=e_1+3 e_2+2 \boldsymbol{e}_3 .
\end{array}\right.
$$
如果向量 $\boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+3 \boldsymbol{e}_3$ 在基 $\boldsymbol{e}_1^{\prime}, \boldsymbol{e}_2^{\prime}, \boldsymbol{e}_3^{\prime}$ 下的坐标 $x_1, x_2, x_3$ 组成的 3 维向量 $\boldsymbol{\xi}=\left(x_1\right.$, $\left.x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$ 是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & a & 0 \\ 0 & b & 2\end{array}\right)$ 的一个特征向量.
(1) 求常数 $a, b$.
(2) 问 $A$ 能否与对角阵相似? 如果能, 求使得 $P{ }^1 A P=\Lambda$ 的可逆矩阵 $P$ 和对角阵 $\Lambda$; 如果不能, 说明理由.
求直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z-1=0 \\ x+y-z+1=0\end{array}\right.$ 在平面 $\Pi: x+2 y-z=0$ 上 的投影方程.
(1) 设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵, 求证: $r\left(A^{\mathrm{T}} A\right)=r(A)$.
(2) 设 $A$ 为三阶方阵, 向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1,1$ 的特征向量, 而 $\alpha_3$ 满足 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$. 求证: 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关.
给定二次曲面在直角坐标下的方程 $x^2+y^2+z^2-x y-x z-y z-2 z+1=0$, 利用 正交变换和平移变换将其化为标准方程, 并判断这是什么类型的曲面.
考虑二阶复方阵 $M(\mathbb{C})$ 组成的复线性空间, 方阵 $A=\left(\begin{array}{ll}7 & 2 \\ 3 & 7\end{array}\right)$ 以及线性变换 $\mathscr{B}$ : $M_2(\mathbb{C}) \rightarrow M_2(\mathbb{C})$ 满足 $\mathscr{B}(X)=A X-X A$, 其中 $X$ 为任意 2 阶方阵, 试证明: $\mathscr{B}$ 是可对角 化的线性变换.
设 $V$ 是由次数不超过 3 的实系数多项式组成的线性空间. 对于任意的 $f(x), g(x) \in$ $V$, 定义 $(f(x), g(x))=6 \int_0^1 f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
(1) 证明: $(,)$ 给出了$ V$ 上的内积结构.
(2) 设 $W$ 为由 $1, x, x^3$ 生成的线性子空间 (于是, $W$ 为欧式空间), $U$ 为 $1, x$ 生成的线性子 空间, 试计算 $U$ 在 $W$ 中的正交补空间.
设向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 与 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 是线性空间 $V$ 的两个基, $T$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换, 若 $\alpha_1=\beta_1-\beta_2, \alpha_2=\beta_2-\beta_3, \alpha_3=2 \beta_3-\beta_1$, 且 $T\left(\alpha_1\right)=\beta_1+\beta_2, T\left(\alpha_2\right)=\beta_2+\beta_3, T\left(\alpha_3\right)=\beta_3+\beta_1$,
1）求由基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 到基 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 的过渡矩阵 $C$;
2）求线性变换 $T$ 在两个基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 与 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 下的矩阵 $A$ 与 $B$.
在线性空间 $\mathrm{R}^3$ 中, $\alpha_1=(1,0,0)^T, \alpha_2=(1,1,0)^T, \alpha_3=(1,1,1)^T$ 是一个基, $\mathrm{R}^3$ 上的线性变换 $T$ 定义为: $T\left(x_1, x_2, x_3\right)^T=\left(x_1+x_2, x_2, x_1+x_2+x_3\right)^T$,
1) 求线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵 $A$;
2) 求线性变换 $T$ 的特征值与特征向量。
设 $V$ 是 3 维殴氏空间, $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $V$ 的一个基, 其度量矩阵为 $A ; \beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $V$ 的另一个基, 从 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵为 $C$.
1) 求内积 $\left(\alpha_1, \beta_1\right)$;
2) 求基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的度量矩阵 $B$;
3 ) 求所有与向量 $\alpha_1+\beta_1$ 正交的向量。
设有 5 个向量
$
\boldsymbol{\alpha}_1=(3,1,2,5), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,1,2), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{llll}
2, & 0,1,3
\end{array}\right)
$
$\boldsymbol{\alpha}_4=(1,-1,0,1), \boldsymbol{\alpha}_5=(4,2,3,7) .$
求此向量组中的一个极大线性无关组, 并用它表示其余的向量.
$A$ 是 $n$ 阶方阵, 证明存在可逆矩阵 $P$ 和上三角矩阵 $U$, 使得 $A=P U$ 。
设 $\mathbb{R}$ 为实数域, $V$ 是以 0 为极限的实数数列全体, 即
$$
V=\left\{\left\{a_n\right\} \mid a_n \in \mathbb{R}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0\right\}
$$
在 $V$ 中定义加法与数乘运算: $\left\{a_n\right\}+\left\{b_n\right\}=\left\{a_n+b_n\right\}, k\left\{a_n\right\}=\left\{k a_n\right\}, k \in \mathbb{R}$, 则 $V$ 构成实数域 $\mathbb{R} $上 的线性空间(不需要证明).
请证明: $V$ 是无穷维的线性空间.
已知直线 $L_1=\left\{\begin{array}{l}x+y+z-1=0 \\ x-2 y+2=0\end{array}, L_2=\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=t+a \\ z=b t+1\end{array}\right.\right.$, 试确定 $a, b$ 满足的条件使得 $L_1, L_2$ 是:
1. 平行直线;
2. 异面直线.
设 4 维向量组 $A: \alpha_1=(1,0,2,3)^T, \alpha_2=(1,1,3,5)^T \alpha_3=(1,2,4, a+6)^T$, $\alpha_4=(2,1, b+5,8)^T$ 的秩为 2 ,
(1) 求参数 $a, b$ 的值;
(2) 求 $A$ 的一个最大线性无关组, 并用最大线性无关组表示向量组其余向量.
设 $f(x) \in \mathbb{R}[x]$, 且 $\operatorname{deg} f(x)>1$, 证明: 存在非零多项式 $g(x) \in$ $\mathbb{R}[x]$, 使得 $f(x) \mid g\left(x^8\right)$.
设向量组 $a_1, a_2, a_3$ 线性无关, $b_1=3 a_1+a_2-a_3, b_2=4 a_1+a_2-a_3, b_3=a_2+a_3$, 讨论向量组 $b_1, b_2, b_3$ 的线性相关性。
如果实系数多项式 $f(x)$ 满足: $f\left(2 x^2+1\right)=2[f(x)]^2+1,(\forall x \in \mathbb{R}), f(0)=0 .$
证明: $f(x) \equiv x,(\forall x \in \mathbb{R})$.
设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $A^2=E$ ，证明:
(1) $r(A+E)+r(A-E)=n$.
(2) $A$ 与对角矩阵相似.
(3) $\mathbb{R}^{n \times n}=V_1 \oplus V_2$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& V_1=\left\{\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid(A+E) X=0\right\}, \\
& V_2=\left\{\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid(A-E) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}\right\}
\end{aligned}
$$