设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵$A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha $, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$ $\text{C.}$ $E$ $\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$

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