一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)$ 连续, 且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加.
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少.
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$, 有 $f(x)>f(0)$.
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$, 有 $f(x)>f(0)$.
设函数 $f_i(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数, 且 $f_i^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0(i=1,2)$. 若两条曲线 $y=f_i(x)(i=1,2)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$, 且该点 处曲线 $y=f_1(x)$ 的曲率大于曲线 $y=f_2(x)$ 的曲率, 则在 $x_0$ 的某个邻域内 , 有
$\text{A.}$ $f_1(x) \leq f_2(x) \leq g(x)$.
$\text{B.}$ $f_2(x) \leq f_1(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leq g(x) \leq f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_2(x) \leq g(x) \leq f_1(x)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a \tan x+b(1-\cos x)}{c \ln (1-2 x)+d\left(1-\mathrm{e}^{-x^2}\right)}=2$, 其中 $a^2+c^2 \neq 0$, 则必有
$\text{A.}$ $b=4 d$.
$\text{B.}$ $b=-4 d$.
$\text{C.}$ $a=4 c$.
$\text{D.}$ $a=-4 c$.
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_0} g(x) \Rightarrow \exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$.
$\text{B.}$ 若 $\exists \delta>0$ 使得当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A_0, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=B_0$ 均 $\exists$, 则 $A_0>B_0$.
$\text{C.}$ 若 $\exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_0} g(x) \Rightarrow \exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时有 $f(x)>g(x)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos \left(x e^x\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^4}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{8}$.
$\text{D.}$ $-\frac{1}{12}$.
设 $f(x)=\frac{\left|x^2-1\right|}{x^2-x-2} \arctan \frac{1}{x}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个可去间断点,一个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点
设函数 $f(x, y)= \begin{cases}(x y+a|x|+b \sqrt{|y|}) \arctan \frac{1}{|x|+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{cases}$ 则下列说法中,错误的是
$\text{A.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的连续性与 $a, b$ 的取值无关.
$\text{B.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数是否存在与 $a, b$ 的取值无关.
$\text{C.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的可微性与 $a, b$ 的取值有关.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x e^x\right)-e^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^\alpha}=\beta \neq 0$ 则
$\text{A.}$ $\alpha=2, \beta=-1$.
$\text{B.}$ $\alpha=3, \beta=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $\alpha=4, \beta=-\frac{1}{12}$.
$\text{D.}$ $\alpha=5, \beta=-\frac{1}{8}$.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2+b x+1-e^{x^2-2 x}}{x^2} =2$, 则
$\text{A.}$ $a={5}, b=-2$.
$\text{B.}$ $a=-2, b=5 $
$\text{C.}$ $a={2}, b=0$.
$\text{D.}$ $a={4}, b=-4$.
函数 $f(x)=\frac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设对于任意 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 方程 $x^{\cos ^2 \alpha}=k+x \cos ^2 \alpha(x>0)$ 有两个不同的实根, 则 $k$ 的取值范围 是
$\text{A.}$ $\left[0, \sin ^2 \alpha\right)$.
$\text{B.}$ $\left(0, \sin ^2 \alpha\right)$.
$\text{C.}$ $\left[0, \cos ^2 \alpha\right)$.
$\text{D.}$ $\left(0, \cos ^2 \alpha\right)$.
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2 & x \leq 0 \\ x-2 & x>0\end{array}\right.$ 是
$\text{A.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调增加函数
$\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调减少函数
$\text{C.}$ 在 $(-\infty, 0)$ 单增 $(0,+\infty)$ 单减函数
$\text{D.}$ 在 $(-\infty, 0)$ 单减 $(0,+\infty)$ 单增函数
如果一个二元函数 $f(x, y)$ 可以写为一个关于 $x$ 的函数 $g(x)$ 乘以一个关于 $y$ 的函数 $h(y)$, 也就是 $f(x, y)=g(x) h(y)$ 的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离”, 假定下列的函数中 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
(1). 若 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{x+y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(2). 若 $f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{x y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(3). 若 $f(x, y)>0$ 并且 $\frac{\partial^2(\ln f(x, y))}{\partial x \partial y}=0$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
(4.) 若 $f(x, y)>0$ 并且满足 $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot f(x, y)$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
$\text{A.}$ (2)
$\text{B.}$ (1)(3)(4)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (1)(3)
下列有关定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数 $f(x)$ 的说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 并且 $\exists x_0 \in(0,+\infty)$, 使得 $f\left(x_0\right)>A, \exists x_1 \in(0,+\infty)$ 并且 $x_0 \neq x_1$, 使得 $f\left(x_1\right) < A$, 那么 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值和最小值。
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 是奇函数, 并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A(\neq 0)$, 则 $f(x)$ 的斜渐近线条数一定是偶数。
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 并且 $f(0)=1$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=2$
$\text{D.}$ 令 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, x \neq x_0 \\ f^{\prime}\left(x_0\right), x=x_0\end{array}\right.$, 其中 $x_0 \in(-\infty,+\infty)$, 则 $g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $f(x)=x^2 \ln \left(1-x^2\right)$, 当 $n$ 为大于 2 的正整数时, 则 $f^{(n)}(0)=$
$y=\left(x^2-5 x+6\right)\left|x^3-3 x^2+2 x\right|$ 的不可导点的个数为 ________ 个
若方程组 $\left\{\begin{array}{l}x=t e^{-t} \\ \int_1^{y-x} \sin ^2\left(\frac{\pi}{4} u\right) d u=t\end{array}\right.$ 可确定 $y$ 是 $x$ 的函数 $y=y(x)$, 则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$ ?
已知常数 $a>0, b c \neq 0$, 使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x^a \ln \left(1+\frac{b}{x}\right)-x\right]=c$, 求 $a, b, c$.
函数 $f(x)=\frac{\sqrt{1+2 x}-1}{x(x+1)(x-2)}$ 的无穷间断点为 ________ , $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$
函数 $f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi$ 和 $x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad$ ( $k$ 是整数 $)$ 是间断点, 其中无穷间 断点是 ________
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续, $a \in(0,1)$, 且 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上的平均值等于在 $[a, 1]$ 上以 $f(a)$ 为高的矩形面积. 试证明: (I ) 存在点 $\xi \in(0, a)$ 内使得 $f(\xi)=f(a)(1-a)$; (II) 存在 $\eta \in(0,1)$ 使得 $(\xi-a) f^{\prime}(\eta)=-a f(a)$.
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
x y \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\
0, & x^2+y^2=0
\end{array} ;\right.
$$
证明:
(1) $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(t \cos \alpha, t \sin \alpha)=f(0,0)$;
(2) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=f(0,0)$.
设 $f(x)$ 是仅有正实根的多项式函数，满足
$$
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n
$$
证明: $c_n>0(n \geq 0)$, 极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}}$ 存在，且等于 $f(x)$ 的最小根.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上具有连续导数，满 足 $3\left[3+f^2(x)\right] f^{\prime}(x)=2\left[1+f^2(x)\right]^2 e^{-x^2}$ ，且 $f(0) \leq 1$. 证明：存在常数 $M>0$ ，使得 $x \in[0,+\infty)$ 时，恒有 $|f(x)| \leq M$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{\ln ^2(1+x)}}$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上具有一阶连续导数, 证 明: $\int_a^b \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^2} \mathrm{~d} x \geq \sqrt{(a-b)^2+[f(a)-f(b)]^2}$, 并给出等号成立的条件.
设 $f(x)=x^2 \cos ^2 x$, 求 $f^{(12)}(0)$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) d t}{x^a}=b(b \neq 0)$ 求 $a, b$ 的值.
设函数 $f(x) \in C[0, \pi]$, 满足 $\int_0^\pi f(x) d x=0$, 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0, \pi)$, 使得 $f(\xi)=0$;
(2) 若同时还满足 $\int_0^\pi f(x) \cos x d x=0$, 则存在不同的 $\eta_1, \eta_2$ 使得 $f\left(\eta_1\right)=f\left(\eta_2\right)=0$.
证明: 若闭区间 $[a, b]$ 上的单调有界函数 $f(x)$ 能取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值，则 $f(x)$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数.
求函数 $y=4 \mathrm{e}^{-x}\left(2 x^2+x+1\right)-5$ 的单调区间，极值，上凸区间Q与下凸区间， 以及拐点的横坐标。
设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $T$ 为周期的周期函数Q，且连续，证明:
( I ) 函数 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{T} \int_0^T f(t) \mathrm{d} t$ 是以 $T$ 为周期的周期函数；
(II) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_0^T f(t) \mathrm{d} t$ 。
设函数 $f(x)= \begin{cases}x^a \sin \frac{1}{x}, & x>0, \\ b, & x=0, \\ \frac{1-\cos x}{(-x)^{a-2}}, & x < 0\end{cases}$ 有连续的导函数, 求 a 的取值范围.
设 $f_n(x)=x n^{-x}(n=1,2, \cdots)$. 问 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 是否一致收敛.
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 连续可微, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1(x \geq 1)$. 求证 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数且 $f(a)=0$ ，证明:
$$
\int_a^b\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_a^b\left[f^{\prime}(x)\right]^2 \mathrm{~d} x .
$$
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续可导的函数， $f(a)=f(b)=0$.
证明:
$$
\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^2}{4} \max _{a \leq x \leq b}\left|f^{\prime}(x)\right| .
$$
设 $f(x)=g(x)(\sqrt{x}-1)$, 其中 $g(x)$ 在点 $x=1$ 处连续且 $g(1)=2$, 求 $f^{\prime}(1)$.
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.