一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$.
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$.
$\text{C.}$ $(1,1,2)$.
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$.
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积可表示为
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} \mathrm{~d} x$
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
$\text{A.}$ $x f\left(x^2\right)$
$\text{B.}$ $-x f\left(x^2\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $-x f\left(x^2\right)$
设 $f(x)$ 为连续函数， $F(t)=\int_1^t \mathrm{~d} y \int_y^t f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$
$\text{B.}$ $f(2)$
$\text{C.}$ $-f(2)$
$\text{D.}$ 0
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都收敛
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都发散
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散
设 $f(x)$ 是奇函数，除 $x=0$ 外处处连续， $x=0$ 是其第一类间断点，则 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 是
$\text{A.}$ 连续的奇函数
$\text{B.}$ 连续的偶函数
$\text{C.}$ 在 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 间断的奇函数
$\text{D.}$ 在 $\boldsymbol{x}=0$ 间断的偶函数
设 $f(x, y)$ 为连续函数，则 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x) \leq g(x)$ ，则对任何 $c \in(0,1)$ ，有
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^c f(t) \mathrm{d} t \geq \int_{\frac{1}{2}}^c g(t) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^c f(t) \mathrm{d} t \leq \int_{\frac{1}{2}}^c g(t) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_c^1 f(t) \mathrm{d} t \geq \int_c^1 g(t) \mathrm{d} t$
$\text{D.}$ $\int_c^1 f(t) \mathrm{d} t \leq \int_c^1 g(t) \mathrm{d} t$
设 $m, n$ 为正整数，则反常积分 $\int_0^1 \frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性
$\text{A.}$ 仅与 $m$ 取值有关
$\text{B.}$ 仅与 $\boldsymbol{n}$ 取值有关
$\text{C.}$ 与 $m, n$ 取值都有关
$\text{D.}$ 与 $m, n$ 取值都无关
设 $m, n$ 为正整数，则反常积分 $\int_0^1 \frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性
$\text{A.}$ 仅与 $m$ 取值有关
$\text{B.}$ 仅与 ${n}$ 取值有关
$\text{C.}$ 与 $m, n$ 取值都有关
$\text{D.}$ 与 $m, n$ 取值都无关
设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x \mathrm{~d} x ， J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x \mathrm{~d} x$ ， $K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$, 则 $f^{\prime}(t)=$
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $\int_{0}^{x^{3}-1} f(t) \mathrm{d} t=x$, 则 $f(7)=$
已知两条直线的方程是 $L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}, L_{2}: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$, 则过 $L_{1}$ 且平行于 $L_{2}$ 的 平面方程是
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{x^{2}}^{0} x \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=$
设 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=2$, 则 $[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})=$
已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm{~d} t,-\infty < x < \infty$.
(1) $f^{\prime}(x)=$
(2) $f(x)$ 的单调性:
(3) $f(x)$ 的奇偶性:
(4) $f(x)$ 图形的拐点:
(5) $f(x)$ 图形的凹凸性:
(6) $f(x)$ 图形的水平渐近线:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^x+e^{2-x}}=$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导， $f(0)=0$ ，且其反函数为 $g(x)$. 若 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^2 e^x$ ，求 $f(x)$.
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $S$成正比，比例常数 $\boldsymbol{K}>0$. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时?
已知 $f^{\prime}\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)=$
设函数 $u(x, y, z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$ ，单位向量 $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ，则 $\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{(1,2,3)}=$
点 $(2,1,0)$ 到平面 $3 x+4 y+5 z=0$ 的距离 $d=$
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续， $f(1)=\frac{5}{2}$ ，且对所有 $x, t \in(0,+\infty)$ ，满足条件
$$
\int_1^{x t} f(u) \mathrm{d} u=t \int_1^x f(u) \mathrm{d} u+x \int_1^t f(u) \mathrm{d} u .
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+\frac{3}{2} x^2, & -1 \leq x < 0 \\ \frac{x e^x}{\left(e^x+1\right)^2}, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$, 求函数 $F(x)=\int_{-1}^x f(t) \mathrm{d} t$ 的表达式.
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $g(x)>0$ ，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 $\xi \in[a, b]$ ，使
$$
\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d} x .
$$
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 $k, k>0$ ). 汽锤第一次击打将桩打进地下 $a \mathrm{~m}$. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 $r(0 < r < 1)$. 问
（1）汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注: $m$ 表示长度单位米.)
有一平底容器，其内侧壁是由曲线 $x=\varphi(y)(y \geq 0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 m . 根据设计要求，当以 $3 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{min}$ 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 $\pi \mathrm{m}^2 / \mathrm{min}$ 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).
(1) 根据 $t$ 时刻液面的面积，写出 $t$ 与 $\varphi(y)$ 之间的关系式；
（2）求曲线 $x=\varphi(y)$ 的方程. (注: m 表示长度单位米， $\min$表示时间单位分.)
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ) 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? ( kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米 (小时).
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3.2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
如图， $C_1$ 和 $C_2$ 分别是 $y=\frac{1}{2}\left(1+e^x\right)$ 和 $y=e^x$ 的图象，过点 $(0,1)$ 的曲线 $C_3$ 是一单调增函数的图象. 过 $C_2$ 上任一点 $M(x, y)$ 分别作垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴的直线 $l_x$ 和 $l_y$. 记 $C_1, C_2$与 $l_x$ 所围图形的面积为 $S_1(x) ； C_2, C_3$ 与 $l_y$ 所围图形的面积为 $S_2(y)$. 如果总有 $S_1(x)=S_2(y)$ ，求曲线 $C_3$ 的方程 $x=\phi(y)$.
广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(1+x^2\right)^2}=$
求 $\int \frac{\arcsin e^x}{e^x} d x$.
在 $x O y$ 坐标平面上，连续曲线 $L$ 过点 $M(1,0)$ ，其上任意点 $P(x, y)(x \neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $O P$ 的斜率之差等于 $a x$ （常数 $a>0$ ).
(I) 求 $L$ 的方程;
(ㅍ) 当 $L$ 与直线 $y=a x$ 所围成平面图形的面积为 $8 / 3$ 时，确定 $a$ 的值.
求函数 $f(x, y)=x^2+2 y^2-x^2 y^2$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, y \geq 0\right\}
$$
上的最大值和最小值。
设函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，且满足
$$
f(x)=\int_0^x\left(x^2-t^2\right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t+x^2 ，
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
一个高为 $l$ 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 $2 a$ ，短轴为 $2 b$ 的椭圆. 现将咜油罐以长轴平行于水平面平放，当油罐中油面高度为 $\frac{3}{2} b$ 时，计算油的质量. (长度单位为 m ，质量单位为 kg ，油的密度为常数 $\rho \mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ )