一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列直线中不是曲线 $y=\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的渐近线的是
$\text{A.}$ $x=-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2+1$.
$\text{C.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2$.
$\text{D.}$ $y=-2 x \ln 2-\frac{1}{4} \ln 2-1$.
设曲线 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t|t|, \\ y=t^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{3}}\end{array}\right.$ 确定, 则该曲线的渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设曲线 $L: y=\ln x$, 则
$\text{A.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\ln 2}{2}\right)$ 点取得最小曲率半径 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
$\text{B.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\ln 2}{2}\right)$ 点取得最大曲率半径 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\mathrm{e}}{2}, 1-\ln 2\right)$ 点取得最小曲率半径 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{D.}$ $L$ 在 $\left(\frac{\mathrm{e}}{2}, 1-\ln 2\right)$ 点取得最大曲率半径 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
已知 $f(x)=(x-1)(2 x+1)$, 则在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内 $f(x)$.
$\text{A.}$ 单调增加, 且为凹弧
$\text{B.}$ 单调减少, 且为凹弧
$\text{C.}$ 单调减少, 且为凸弧
$\text{D.}$ 单调增加, 且为凸弧
函数 $y=x \arctan x$ 在
$\text{A.}$ $(-\infty,+\infty)$ 内处处是凸的
$\text{B.}$ $(-\infty,+\infty)$ 内处处是凹的
$\text{C.}$ $(-\infty, 0)$ 内为凸的, $(0,+\infty)$ 内为凹的
$\text{D.}$ $(-\infty, 0)$ 内为凹的, $(0,+\infty)$ 内为凸的
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 的某一邻域内可微, 且满足
$
f(1+x)-3 f(1-x)=4+2 x+o(x),
$
其中 $o(x)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时 $x$ 的高阶无穷小, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=x(x>0)$, 且 $f(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$, 则 $f(x)$ 的极大值点和极大值分别为
$\lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x^3+9}-6}{2-\sqrt{x^3-23}}=$
设曲线 $y=\ln (1+a x)+1$ 与曲线 $y=2 x y^3+b$ 在 $(0,1)$ 处相切,则 $a+b=$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有二阶连续导数, 证明: $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是: 对不同实数 $a$, $b, f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) d x$.
曲线 $y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ 的渐近线条数为
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为 ________ .
三、解答题 （ 共 28 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知函数 $f(x)=\frac{x^3}{(1+x)^2}+3$, 请列表给出: 函数 $f(x)$ 的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数 $f(x)$ 的所有渐近线.
证明: 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $\int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a)$.
设 $a>0$, 试确定 $a$ 的范围使得曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x$ 必相交 (要求说明理由)。
讨论方程 $\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}=a$ 在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0,+\infty)$ 内根的个数.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=2$. 证明: 存在两两互异的点 $\xi_1, \xi_2, \xi_3 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right) f^{\prime}\left(\xi_2\right) \sqrt{1-\xi_3} \geq 2$.
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$.
(I) 证明: 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=c$;
(II) 证明: 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=1-f^{\prime}(\xi)$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数且 $f(0)=0$. 求证:
$$
\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \leqslant 4 \int_0^1(1-x)^2\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x
$$
并求使上式成为等式的 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导且 $f(0)>0$, $f(1)>0, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 证明:
(1) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上至少有两个零点;
(2) 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f^{\prime}(\xi)+3 f^3(\xi)=0$.
设 $a>1$, 且.
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^a, & x \text { 为有理数 } \\
0, & x \text { 为无理数 }
\end{array} .\right.
$$
讨论 $f(x)$ 的可微性.
证明含参变量积分
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x
$$
在 $0 \leq \alpha_0 \leq \alpha < +\infty$ 上一致收敛,并问其在 $0 < \alpha < +\infty$ 上是否一致收敛.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且满足 $f_{+}^{\prime}(a) < c < f_{-}^{\prime}(b)$, 证明: 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=c$.
设 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续, 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内连续可导, 且满足 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x \cdot f(x) \mathrm{d} x=0$, 证明：
( I ) 存在 $\xi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=2 f(\xi) \tan \xi$;
(II) 存在 $\eta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=f(\eta) \tan \eta$.
证明 $f(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} d y$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $(0,+\infty)$ 上连续
设 $f(x)$ 二阶可导, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f(1)=1$, 证明 : 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)-2 f^{\prime}(\xi)=-2 \text {. }
$$
假设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，满足 $f(0)=f(1)$ 。证明对任意正整数 $n$ ，存在 $x \in\left[0, \frac{n-1}{n}\right]$ 使得 $f(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)$ 。
假设 $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) ， f(0) f^{\prime}(0) \geq 0$ 并且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ 。证明存在 $0 \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_n < \cdots$, 使得 $f^{(n)}\left(x_n\right)=0$ 。
假设存在常数 $C$ 使得对任意非负整数 $n$ 都有 $\left|f^{(n)}(x)\right| \leq C^n$ 。证明，对任意 $x_0 \in \mathbb{R} ， f(x)$ 有无穷 Taylor 级数
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k, \quad \forall x \in \mathbb{R} .
$$
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的可导函数, 且满足: $0 < f(x) < 1$, 试证:
(1) 至少存在一点 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=\xi^{2019}$;
（2）至少存在一点 $\eta \in(0,1)$, 使得 $3 f(\eta)+\eta f^{\prime}(\eta)=2022 \eta^{2019}$ 。
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$,
证明:
(1) 在区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$,
(2) $\exists \xi \in(a, b)$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$
设函数 $f(x)$ 是满足初值问题 $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x^2, \\ f(0)=a, f^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的特解, 试证明 $x=0$ 是 $y=f(x)$的极小值点.
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可微, 且 $f(1)=f(-1)=1$, 若平面向量函数
$$
\boldsymbol{F}(x, y)=\frac{-x y^2}{y^4+f(x)} i+\frac{x^2 y}{y^4+f(x)} j
$$
是二元函数 $\Phi(x, y)$ 的梯度.
(I) 求函数 $f(x)$ 及 $\Phi(x, y)$;
( II ) 证明: $\oint_C \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$, 其中 $C$ 是任意一条不通过 $\boldsymbol{F}(x, y)$ 的奇点 (使 $y^{\prime}+f(x)=0$的点) 的正向闭路径.
设 $f(x)$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的实函数, 存在 $M>0$, 使得对任何的 $x, y \in[-1,1]$ 成立 $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$, 若对任何固定的 $x$, 成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{x}{n}\right)=0$,
证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且导数为 0 .
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且下凸, 证明: 对任意的实数 $x$, 都有 $f\left(x+f^{\prime}(x)\right) \geq f(x)$.
设 $f(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的正值连续函数, 试证: 存在唯一的 $\xi \in(a, b)$, 使得:
$$
\int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\xi}^b f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
试确定方程 $\mathrm{e}^x=a x^2(a>0)$ 的实根个数.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $g(a)=g(b)=1, f^{\prime}(x) \neq 0$. 试证存在 $\xi, \eta \in(a, b)$, 使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\mathrm{e}^{\xi-\eta}\left[g(\xi)+g^{\prime}(\xi)\right]$
对函数 $y=\frac{x+1}{x^2}$ 填写下表:
证明当 $x>0$ 时, $\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) < \sqrt{1+x^2} \arctan x$.