一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设$f(x)$在$x=a$处连续,$\phi(x)=|x-a|f(x)$，若$\phi(x)$在$x=a$处可导，则
$\text{A.}$ $f(a)=0$
$\text{B.}$ $f(a)\ne0$
$\text{C.}$ $f'(a)=0$
$\text{D.}$ $f'(a)\ne0$
设$f(x)$以2为周期且$f'(1)=\pi$,则 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac {f(3+2x)-f(-1- \sin x)}{x}=$
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $2\pi$
$\text{C.}$ $3\pi$
$\text{D.}$ $4\pi$
设$g(x)$有界$f(x)= \begin{cases} \frac { \cos x-1}{x},&x < 0 \\ x^{ \frac {3}{2}}g(x),&x \ge 0 \end{cases}$， 则$f(x)$在$x=0$处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 存在极限但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
下列函数中,在$x=0$处可导的是( ).
$\text{A.}$ $f(x)= { \frac {|x|}{x+1}}$
$\text{B.}$ $f(x)= \sqrt { \cos x}$
$\text{C.}$ $f(x)=x \arctan \frac {1}{x}$
$\text{D.}$ $f(x)= \cos \sqrt {|x|}$
方程 $\arcsin x=k x$ 在 $x \in[0,1]$ 只有一个解, 那么 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(1, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{B.}$ $k \geqslant \frac{\pi}{2}$ 或者 $k < 1$
$\text{C.}$ $k>\frac{\pi}{2}$ 或者 $k \leqslant 1$
$\text{D.}$ $k=1$
下列有关定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数 $f(x)$ 的说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 并且 $\exists x_0 \in(0,+\infty)$, 使得 $f\left(x_0\right)>A, \exists x_1 \in(0,+\infty)$ 并且 $x_0 \neq x_1$, 使得 $f\left(x_1\right) < A$, 那么 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值和最小值。
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 是奇函数, 并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A(\neq 0)$, 则 $f(x)$ 的斜渐近线条数一定是偶数。
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 并且 $f(0)=1$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=2$
$\text{D.}$ 令 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, x \neq x_0 \\ f^{\prime}\left(x_0\right), x=x_0\end{array}\right.$, 其中 $x_0 \in(-\infty,+\infty)$, 则 $g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在
函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n+2}{x^n+1}$ 的间断点及类型是
$\text{A.}$ $x=1$ 是第一类间断点, $x=-1$ 是第二类间断点
$\text{B.}$ $x=1$ 是第二类间断点, $x=-1$ 是第一类间断点
$\text{C.}$ $x=\pm 1$ 均是第一类间断点
$\text{D.}$ $x=\pm 1$ 均是第二类间断点
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right) \quad(x>0)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 处处可导.
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点.
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点.
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点.
二、填空题 （共 15 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^3-1}{x-1}=$
若 $x^2-a \sin x$ 和 $x$ 是 $x \rightarrow 0$ 时的等价无穷小, 则 $a=$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=9$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{3 x}=$
曲线 $y=\arctan \frac{1}{x}$ 在点 $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$ 的切线方程为
设 $\left\{\begin{array}{c}x=t e^t, \\ y=\sin 2 t,\end{array}\right.$ 则导数 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime \prime}(3)=$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且 $f(0)=0$, 其反函数为 $g(x)$, 满足
$$
\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=(x-1) \mathrm{e}^x+x^2+1,
$$
则 $f(x)$ 的表达式为 $f(x)=$
设$f(x)=\sin x$,$f[φ(x)]=1-x^2$, 则 $\phi (x)=\xi$，定义域为$\underline{\quad\quad\quad}$.
设$ f(x)$连续可导,且$ \lim \limits_ {x \rightarrow 1}\dfrac { f(x)+1}{x-1}=2$，则 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {f(1+2x)-f(1-3x)}{x}=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$ f(x)=(e^{x}-1)(e^{2x}-2) \cdots (e^{10x}-10)$, 则 $f'(0)=\underline { \quad \quad \quad }.$
设$ f(x)= \begin{cases} \ln (1+ax),&x>0 \\ e^{2x}+b,&x \le 0 \end{cases} $，且$f'(0))$存在,则$a=\underline { \quad \quad \quad } ,b=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$y=y(x)$满足 $\Delta y= \frac { \Delta x}{1+x^{2}}+o( \Delta x)$,，且$y(0)=1$，则$y(x)= \underline { \quad \quad\quad}$.
设$y=y(x)$满足 $\Delta y= \frac { \Delta x}{1+x^{2}}+o( \Delta x)$，且$y(0)=1$，则$y(x)= \underline { \quad \quad\quad}$.
设 $f(x)= \lim \limits_ {t \rightarrow 0}x^{2}(1-t^{2})^{ \dfrac {x}{ \sin t^{2}}}$, 则 $f'(x)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设 $e^{x+y}=xy+1$, 则 $y'(0)=8$.设 $y= \dfrac {1}{2x-1}$, 则 $y^{10}(0)=\underline { \quad \quad \quad }$.
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续.
(1) 证明存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $\int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(b-\xi) f(\xi)$;
(2) 如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内取得最大值和最小值, 证明存在 $\eta \in(a, b)$, 使得
$$
\int_a^\eta f(x) \mathrm{d} x=(\eta-a) f(\eta) .
$$
已知 $y(x)$ 由 $x=\int_1^{y-x} \sin ^2\left(\frac{\pi}{4} t\right) \mathrm{d} t$ 确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$.
已知 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶可导，且
$$
\max _{0 \leq x \leq 2}\left\{|f(x)|,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|\right\} \leq 1 ，
$$
证明: 对任意的 $x \in[0,2],\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \mathbf{2}$.
证明: $I(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} d y$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致 收敛.
1.计算下列函数的导数.
(1) $y=\ln^2\arctan x$.
(2)$y=e^{ \sin ^{2} \frac {1}{x}}+ \arctan \frac {1+x}{1-x}$.
(3)$y=x^{\sin^2x}$.
(4)$y= \dfrac {x}{ \sqrt {x^{2}+1}}$.
(1)设$y=y(x)$由 $e^{xy}=x^2+y^2+1$ 确定，求 $\dfrac {dy}{dx}$.
(2)设$y=y(x)$由$\sin{xy}+y-3x=1$确定,求$y'(0)$.
(3)设$y=y(x)$由 $e^{xy}=\sin 2x+y^3 $确定,求$y'(0)$.
设$f(x)= \begin{cases} 2x+b,&x < 0\\ \ln (1+ax)+1,&x \ge 0\end{cases} $，且$f'(0)$存在,求$a$，$b$.
设$y=\ln(2x+1)$，求$y^{(n)}(n≥2)$.
(1)设函数$y=y(x)$由 $\begin{cases} x= \arctan t \\ y= \ln (1+t^{2}) \end{cases}$确定，求 $\dfrac {dy}{dx}$，$\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}$.
(2)设函数$y=y(x)$由 $\begin{cases} x=1+t^{2} \\ y= \sin 2t \end{cases} $确定，求 $\dfrac {dy}{dx}$, $\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}$.
(1)设函数$y=y(x)$由 $\begin{cases} x= \arctan t \\ y= \ln (1+t^{2}) \end{cases}$确定，求 $\dfrac {dy}{dx}$，$\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}$.
(2)设函数$y=y(x)$由 $\begin{cases} x=1+t^{2} \\ y= \sin 2t \end{cases} $确定，求 $\dfrac {dy}{dx}$, $\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}$.
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-(\sin x)^x}{x^3}$
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
求极限: $ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}\right]^{\frac{1}{1-\cos x}}$
求 $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x e^{t^2} d t\right)^2}{\int_0^x t e^{2 t^2} d t}$$
设 $f(x)$ 二阶可导并且 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x), f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right]$