2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

方程 $\arcsin x=k x$ 在 $x \in[0,1]$ 只有一个解, 那么 $k$ 的取值范围是

$ \text{A.}$ $\left(1, \frac{\pi}{2}\right]$ $ \text{B.}$ $k \geqslant \frac{\pi}{2}$ 或者 $k < 1$ $ \text{C.}$ $k > \frac{\pi}{2}$ 或者 $k \leqslant 1$ $ \text{D.}$ $k=1$

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我来讲解

答案：

解析：

由题意知 $x=0$ 是原方程的一个解, 所以 $\arcsin x=k x$ 在 $(0,1]$ 内没有解。
所以令 $g(x)=\frac{\arcsin x}{x}, 0 < x \leqslant 1$ 。于是 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}-\frac{\arcsin x}{x^2}=\frac{x-\sqrt{1-x^2} \arcsin x}{x^2 \sqrt{1-x^2}}$ 。
令 $h(x)=x-\sqrt{1-x^2} \arcsin x$, 于是 $h^{\prime}(x)=\frac{2 x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} > 0$ 。
所以 $h(x)$ 在 $(0,1]$ 单调递增, $h(x) > h(0)=0$, 所以 $g^{\prime}(x) > 0$, 所以 $g(x)$ 在 $(0,1]$ 单调递增。
由于 $g(1)=\frac{\pi}{2}, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)=1$, 所以 $k$ 的范围就是: $k > \frac{\pi}{2}$ 或者 $k \leqslant 1$ 。

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