一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \sin t^2 \mathrm{~d} t}{x^6}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $1$
设在 $[0,1)$ 上 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0) < f^{\prime}(1) < f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $ f^{\prime}(0) < f(1)-f(0) < f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0) < f(1)-f(0)$
$\text{D.}$ $f(1)-f(0) < f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0)$
设 $y=f(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=-e^{\sin x}$ 的一个解, 若 $f\left(x_0\right)>0, f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$
$\text{A.}$ 取得极大值
$\text{B.}$ 某邻域内单调增加.
$\text{C.}$ 某邻域内单调减少.
$\text{D.}$ 取得极小值
设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_n\right)$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{a_n a_{n+1}}$ 的敛散性为
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 无法判断
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是极小值点.
$\text{D.}$ $x_0$ 是否是极值点无法判断.
函数 $y=3 x^3-x$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值是:
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 没有
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $-2 / 9$
设函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示, 则曲线 $y=$ $f(x)$ 拐点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
“函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导” 是 “函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续” 的
$\text{A.}$ 充分且必要条件
$\text{B.}$ 必要非充分条件
$\text{C.}$ 充分非必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
设$f(x)$连续,且$ \lim \limits _{x \rightarrow 1} \dfrac {f(x)-2}{(x-1)^{2}}=-1$, 则
$\text{A.}$ $x=1$为$f(x)$的极大值点
$\text{B.}$ $x=1$为$f(x)$的极小值点
$\text{C.}$ $x=1$不是$f(x)$的极值点
$\text{D.}$ $(1,2)$为$y=f(x)$的拐点
设$f'(1)=0$,又$ \lim \limits _{x \rightarrow 1}\dfrac { f'(x)}{(x-1)^{3}}=2$, 则
$\text{A.}$ $x=1$为$f(x)$的极大值点
$\text{B.}$ $x=1$为$f(x)$的极小值点
$\text{C.}$ $x=1$不是$f(x)$的极值点
$\text{D.}$ $(1,f(1))$为$y=f(x)$的拐点
设$f(x)$连续二阶可导，且 $ \lim \limits _{x \rightarrow 0}\dfrac {f(x)-1}{x^{2}}=2$, 则
$\text{A.}$ $x=0$为$f(x)$的极大值点
$\text{B.}$ $x=0$为$f(x)$的极小值点
$\text{C.}$ $x=0$不是$f(x)$的极值点
$\text{D.}$ $(0,1)$为$y=f(x)$的拐点
$\lim \limits _{x \rightarrow + \infty }x^{2}( \sin \dfrac {1}{x-1}- \sin \dfrac {1}{x+1})=$
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\lim \limits _{x \rightarrow + \infty }x^{2}( \sin \dfrac {1}{x-1}- \sin \dfrac {1}{x+1})=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
方程 $xe^{-x}=a$ 有唯一解,则$a=$
$\text{A.}$ $\dfrac{1}{e}$
$\text{B.}$ $-\dfrac{1}{e}$
$\text{C.}$ $\dfrac{2}{e}$
$\text{D.}$ $-\dfrac{2}{e}$
设$f"(x)>0$,且$f(0)=0$,则$-f(-1)$,$f(1)$,$f'(0)$的大小次序为
$\text{A.}$ $- f( -1) < f( 1) < f'( 0)$
$\text{B.}$ $-f(-1) < f'(0) < f(1)$
$\text{C.}$ $f( 1) < f(-1) < f'(0)$
$\text{D.}$ $f(1) < f'(0) < f(-1)$
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
由方程 $y=\cos (x y)-x$ 所确定的隐函数为 $y=f(x)$, 求导数 $f^{\prime}(x)$.
设 $a>0, f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 且 $f(0)=f(2 a)$, 试证: 存在 $\xi \in[0, a]$, 使 $f(\xi)=f(\xi+a)$.
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^3} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{t}{\cos \theta}} \frac{\sin \left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{d} r=$
函数$f(x)=x^2-3x+4$在$[1,2]$上满足罗尔定理的条件,则中值$\xi=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$可导，且 $\lim \limits _{x \rightarrow + \infty }f'(x)=2$， 则 $\lim \limits _{x \rightarrow + \infty }[f(x+1)-f(x-1)]= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits _{x \rightarrow 0}\dfrac { e^{-x^{2}}+x^{2}-2}{x^{3} \sin 2x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim\limits _{x \rightarrow 0}\dfrac {\arcsin x-x}{x^{3}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits _{ {x \rightarrow 0}} \dfrac {e^{ \dfrac {-x^{2}}{2}}-1+ \dfrac {x^{2}}{2}}{x^{2} \ln ^{2}(1+2x)}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$y=e^{-(x-1)^{2}} $的凸区间为$\underline { \quad \quad \quad }$,凹区间为$\underline { \quad \quad \quad }$.
$y= \dfrac {2x^{2}+3x+2}{x+1} $的斜渐近线为$\underline { \quad \quad \quad }$.
数列$ { \sqrt [n]{n} } $的最大项为$\underline { \quad \quad \quad }$.
函数$ f(x)=xe^{-2x}$ 的最大值为$\underline { \quad \quad \quad }$.
曲线 $L: \begin{cases} x=a(t- \sin t) \\ y=a(1- \cos t) \end{cases} ,(a>0) $在$ t= \dfrac { \pi }{2} $对应点处的曲率为$\underline { \quad \quad \quad }$.
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的最大值
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数, $f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in(0,2)}\{|f(x)|\}$, 证明（1）存在 $\xi \in(0,2)$, 使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$
（2）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 则 $M=0$.
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}
$$
设 $y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\mathrm{d} y$ 和 $y^{\prime \prime}(x)$.
设$f(x)$在$[0,2]$上连续,在$(0,2)$内可导,且$f(0)=1$,$f(1)+2f(2)=3$,证明:存在$\xi\in(0,2)$,使得$f'( \xi)=0$.
设$f(x)$二阶可导, $\lim \limits _{x \rightarrow 0}\dfrac { f(x)-1}{x}=0$ 且$f(1)=1$,证明:存在$\xi\in(0,1)$,使得 $f''(\xi)=0$.
设$f(x)$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$内可导$(a>0)$,证明:存在$ξ\in(a,b)$,使得$f(b)-f(a)= \xi f'( \xi ) \ln \frac {b}{a}$.
设$f(x)$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$内可导,且$f(a)=f(b)=0$,证明:存在$\xi\in(a,b)$,使得$f'(\xi)-2f(\xi)=0$.