题号:2422    题型:单选题    来源:太原理工大学高等数学2021学年期末考试A卷真题
设在 $[0,1)$ 上 $f(x)$ 二阶可导,且 $f^{\prime \prime}(x) > 0$ ,则
$A.$ $f^{\prime}(0) < f^{\prime}(1) < f(1)-f(0)$ $B.$ $ f^{\prime}(0) < f(1)-f(0) < f^{\prime}(1)$ $C.$ $f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0) < f(1)-f(0)$ $D.$ $f(1)-f(0) < f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0)$
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答案:
B

解析:

$\because$ 在[0,1) 上 $f(x)$ 二阶可到,且 $f''(x) > 0$
所以 $f'(x)$ 在 $[0,1)$ 上单调递增, 所以 $f^{\prime}(1) > f^{\prime}(0)$
把区间[0,1]分成若干个小区间,且平均分成n个小区间
$\therefore f(1)-f(0)=\sum_{i=1}^n \Delta y=\sum_{i=1}^n f'(x) d x=f'(x)$
又 $f'(x)$ 在 [0,1]上单调递增, 所以 $f'(0) < f'(x) < f'(1)$
$\therefore f^{\prime}(0) < f(1)-f(0) < f^{\prime}(1)$
故选B
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