题号:2711    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学二卷)
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0 > 0$, 则
$A.$ $x_0$ 不是极值点. $B.$ $x_0$ 是极大值点. $C.$ $x_0$ 是极小值点. $D.$ $x_0$ 是否是极值点无法判断.
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答案:
C

解析:

将方程变形为
$$
(x+1) f^{\prime \prime}(x)+x(x+1) f^{\prime}(x)=(x+1) \ln (1+x)-\arctan x,
$$
令 $g(x)=(x+1) \ln (1+x)-\arctan x, x \in[0,+\infty)$, 则
$$
g^{\prime}(x)=\ln (1+x)+1-\frac{1}{1+x^2}=\ln (1+x)+\frac{x^2}{1+x^2} > 0(x > 0),
$$
所以当 $x > 0$ 时, $g(x)$ 单调增加, 有 $g(x) > g(0)=0$, 又由 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0 > 0$, 可知 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 从而
$$
\left(x_0+1\right) f^{\prime \prime}\left(x_0\right) > 0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right) > 0,
$$
故 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点. 应选 C.
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