复数 $\frac{-2 i}{1+i}=$

已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-2 x-3 < 0\right\}, B=\{x \mid y=\lg (x-1)\}$, 则 $A \cap B=$

已知边长为 2 的等边 $\triangle A B C, O$ 为其中心, 对(1) $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}|=6$; (2) $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2$;
(3) $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|=0$; (4) $3 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{O B}=2$ 这四个等式, 正确的个数是

自 5 月初，岳麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占 $\dfrac{3}{5}$,外地游客中有 $\dfrac{1}{3}$乘观光车登顶．本地游客中有 $\dfrac{1}{6}$ 乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为 20 元．若某天有 1200 人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是

已知函数 $f(x)=\cos ^2 \frac{\omega x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega>0), x \in R$, 若 $f(x)$ 在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点, 则 $\omega$ 的取值范围是

有一个圆台型的密闭盒子 (表面不计厚薄), 其母线与下底面成 $60^{\circ}$ 角, 且母线长恰好等于上下底 半径之和, 在圆台内放置一个球, 当球体积最大时, 设球的表面积为 $S_1$, 圆台的侧面积为 $S_2$, 则 ( )

已知函数 $f(x)=\ln (|x-2|+1)-\frac{1}{x^2-4 x+5}$, 则 $f(-1), f\left(e^2\right), f\left(2^e\right)$ 的大小关系是

在 $\triangle A B C$ 中, $A B=5, A C=3, \tan A=\frac{4}{3}$, 点 $M, N$ 分别在边 $A B, B C$ 移动, 且 $M N=B N$, 沿 $M N$ 将 $\triangle B M N$ 折起来得到棱雉 $B-A M N C$, 则该棱雉的体积的最大值是

如图正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长 $a$, 以下结论正确的是

已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} a x^2+2 x-3 \ln x(a \in R)$, 下列说法正确的是

已知 $A, B$ 时抛物线 $C: y^2=4 x$ 上两动点, $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点, 则

将 $n^2$ 个数排成 $n$ 行 $n$ 列的一个数阵. 如图: 该数阵第一列的 $n$ 个数从上到下构成以 $m$ 为公差的等 差数列, 每一行的 $n$ 个数从左到右构成以 $m$ 为公比的等比数列(其中 $m>0$ ). 已知 $a_{11}=2, a_{13}=a_{61}+1$ 记这 $n^2$ 个数的和为 $S$. 下列结论正确的有
$$\begin{array}{lllll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \cdots & a_{n n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots \cdots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots \cdots & a_{3 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots \cdots & a_{n n}\end{array}$$

$\left(x^2+\frac{2}{x}\right)^6$ 的展开式中常数项是

在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-8 x+15=0$, 若直线 $y=k x-2$ 上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 $C$ 有公共点, 则 $k$ 的最大值是

在 $\triangle A B C$ 中, $\tan B=4 \tan A$, 则当 $B-A$ 取最大值时, $\sin C=$

过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点 $F$ 作其中一条渐近线的垂线, 垂足为 $Q$, 直线 $F Q$ 与双 曲线的左、右两支分别交于点 $M, N$, 若 $|M Q|=3|Q N|$, 则双曲线的离心率是

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中 $a_1=1 . M(1,1), A_n\left(2, a_n\right), B_n\left(3,2 a_{n+1}-3\right)$ 为直角坐标平面上的点. 对任意 $n \in \mathbf{N}^*$, $M 、 A_n 、 B_n$ 三点共线.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 求证: $\frac{1}{a_1 a_3}+\frac{1}{a_2 a_4}+\frac{1}{a_3 a_5}+\cdots+\frac{1}{a_n a_{n+2}} < \frac{3}{4}$.

某公园要建造如图所示的绿地 $O A B C, O A 、 O C$ 为互相垂直的墙体, 已有材料可建成的围栏 $A B$ 与 $B C$ 的总长度为 12 米, 且 $\angle B A O=\angle B C O$. 设 $\angle B A O=\alpha\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$.
（1）当 $A B=3, \alpha=\frac{5 \pi}{12}$ 时, 求 $A C$ 的长;
(2) 当 $A B=6$ 时, 求 $O A B C$ 面积 $S$ 的最大值及此时 $\alpha$ 的值.

如图, 在直角 $\triangle P O A$ 中, $P O \perp O A, P O=2 O A=4$, 将 $\triangle P O A$ 绕边 $P O$ 旋转到 $\triangle P O B$ 的位置, 使 $\angle A O B=90^{\circ}$, 得到圆雉的一部分, 点 $C$ 为 $\overparen{A B}$ 上的点, 且 $\overparen{A C}=\frac{1}{3} \overparen{A B}$.
(1) 求点 $O$ 到平面 $P A B$ 的距离;
(2) 设直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成的角为 $\varphi$, 求 $\sin \varphi$ 的值.

某工厂为了提高生产效率, 对生产设备进行了技术改造, 为了对比技术改造后 的效果, 采集了技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度 (单位: 天) 数据, 㢣理如下:
改造前: $19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21$;
改造后: 32, 29, 41, 18, 26, 33, 42, 34, 37, 39, 33, 22, 42, 35, 43, 27, 41, 37, 38, 36 .
(1) 完成下面的列联表, 并依据小概率值 $\alpha=0.010$ 的独立性检验, 分析判断技术改造前后的连续正 常运行时间是否有差异?

（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护, 工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障 维护费两种, 对生产设备设定维护周期为 $T$ 天 (即从开工运行到第 $k T$ 天, $k \in \mathrm{N}^*$ ） 进行维护, 生产设备 在一个生产周期内设置几个维护周期, 每个维护周期相互独立. 在一个维护周期内, 若生产设备能连续运 行, 则只产生一次正常维护费, 而不会产生保障维护费; 若生产设备不能连续运行, 则除产生一次正常维 护费外, 还产生保障维护费, 经测算, 正常维护费为 $0.5$ 万元/次, 保障维护费第一次为 $0.2$ 万元/周期, 此 后每增加一次则保障维护费增加 $0.2$ 万元.
现制定生产设备一个生产周期 (以 120 天计) 内的维护方案: $T=30, k=1,2,3,4$. 以生产设备在技术改 造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率, 求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.

设 $F_1, F_2$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0$ ) 的左、右焦点, $M$ 是 $C$ 上一点, $M F_2$ 与 $x$ 轴垂直, 直线 $M F_1$ 与与 $C$ 的另一个交点为 $N$, 且直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(1) 求椭圆 $\mathrm{C}$ 的离心率;
（2）设 $D(0,1)$ 是椭圆 $C$ 的上顶点, 过 $D$ 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, 过点 $D$ 作线段 $A B$ 的垂线, 垂足为 $Q$, 判断在 $y$ 轴上是否存在定点 $R$, 使得 $|R Q|$ 的长度为定值? 并证明你的结论.

已知函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$.
(1) 判断函数 $f(x)$ 在区间 $(0,3 \pi)$ 上极值点的个数并证明;
(2) 函数 $f(x)$ 在区间 $(-0,+\infty)$ 上的极值点从小到大分别为 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$, 设 $a_n=f\left(x_n\right), S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
（i） 证明: $a_1+a_2 < 0$;
（ii） 问是否存在 $n \in \mathbf{N}^*$ 使得 $S_n \geqslant 0$ ?若存在, 求出 $n$ 的取值范围; 若不存在, 请说明理由