已知函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$.
(1) 判断函数 $f(x)$ 在区间 $(0,3 \pi)$ 上极值点的个数并证明;
(2) 函数 $f(x)$ 在区间 $(-0,+\infty)$ 上的极值点从小到大分别为 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$, 设 $a_n=f\left(x_n\right), S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
（i） 证明: $a_1+a_2 < 0$;
（ii） 问是否存在 $n \in \mathbf{N}^*$ 使得 $S_n \geqslant 0$ ?若存在, 求出 $n$ 的取值范围; 若不存在, 请说明理由