题号:2187    题型:解答题    来源:2023届湖南师大附中高三第一次月考数学
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中 $a_1=1 . M(1,1), A_n\left(2, a_n\right), B_n\left(3,2 a_{n+1}-3\right)$ 为直角坐标平面上的点. 对任意 $n \in \mathbf{N}^*$, $M 、 A_n 、 B_n$ 三点共线.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 求证: $\frac{1}{a_1 a_3}+\frac{1}{a_2 a_4}+\frac{1}{a_3 a_5}+\cdots+\frac{1}{a_n a_{n+2}} < \frac{3}{4}$.
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答案:
解析:(1)由题意得: $\overrightarrow{M A_n}=\left(1, a_n-1\right), \overrightarrow{M B_n}=\left(2,2 a_{n+1}-4\right)$,
因为 $M 、 A_n 、 B_n$ 三点共线, 则 $\overrightarrow{M A_n} / / \overrightarrow{M B}_n$, 可得 $2 a_n-2=2 a_{n+1}-4$, 即 $a_{n+1}-a_n=1$. 所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 1 , 公差为 1 的等差数列, 所以 $a_n=n$.


(2) 因为 $\frac{1}{a_n a_{n+2}}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$,
所以 $\frac{1}{a_1 a_3}+\frac{1}{a_2 a_4}+\frac{1}{a_3 a_5}+\cdots+\frac{1}{a_n a_{n+2}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$
$$
=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2} \cdot \frac{2 n+3}{(n+1)(n+2)} < \frac{3}{4} .
$$
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