题号:2191    题型:解答题    来源:2023届湖南师大附中高三第一次月考数学
设 $F_1, F_2$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0$ ) 的左、右焦点, $M$ 是 $C$ 上一点, $M F_2$ 与 $x$ 轴垂直, 直线 $M F_1$ 与与 $C$ 的另一个交点为 $N$, 且直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(1) 求椭圆 $\mathrm{C}$ 的离心率;
(2)设 $D(0,1)$ 是椭圆 $C$ 的上顶点, 过 $D$ 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, 过点 $D$ 作线段 $A B$ 的垂线, 垂足为 $Q$, 判断在 $y$ 轴上是否存在定点 $R$, 使得 $|R Q|$ 的长度为定值? 并证明你的结论.
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答案:
解析: (1) 由题意知, 点 $\mathrm{M}$ 在第一象限, 因为 $M$ 是 $C$ 上一点, $M F_2$ 与 $x$ 轴垂直, 所以点 $M$ 的棋坐标为 $c$, 当 $x=c$ 时, $y=\frac{b^2}{a}$, 即 $M\left(c, \frac{b^2}{a}\right)$. 又因为直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$, 所以 $\tan \angle M F_1 F_2=\frac{\frac{b^2}{a}}{2 c}=\frac{b^2}{2 a c}=\frac{\sqrt{2}}{4}$. 即 $b^2=\frac{\sqrt{2}}{2} a c=a^2-c^2$, 即 $e^2+\frac{\sqrt{2}}{2} e-1=0$. 解得 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $e=-\sqrt{2}$ (舍去), 即 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$. (垂径定理的应用, 由于 $k_{o r} \cdot k=\frac{1}{2}$, 解得 $k=\frac{1}{2}$.)


(2) 已知 $D(0,1)$ 是椭圆 $C$ 的上顶点, 则 $b=1$, 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$.
设直线 $A B$ 的方程为 $y=k x+m, A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$,
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ x^2+2 y^2=2,\end{array}\right.$, 消去 $y$ 䇥理得 $\left(1+2 k^2\right) x^2+4 k m x+2\left(m^2-1\right)=0$.
所以 $x_1+x_2=\frac{-4 k m}{1+2 k^2}, x_1 x_2=\frac{2\left(m^2-1\right)}{1+2 k^2}$,
$$
\text { 又 } \overrightarrow{D A}=\left(x_1, y_1-1\right), \overrightarrow{D B}=\left(x_2, y_2-1\right) \text {, }
$$
$\overrightarrow{D A} \cdot \overrightarrow{D B}=x_1 x_2+\left(y_1-1\right)\left(y_2-1\right)=x_1 x_2+\left(k x_1+m-1\right)\left(k x_2+m-1\right)$
$$
\begin{aligned}
&=k^2 x_1 x_2+k(m-1)\left(x_1+x_2\right)+(m-1)^2, \\
&=\left(1+k^2\right) \frac{2\left(m^2-1\right)}{1+2 k^2}+k(m-1) \frac{-4 k m}{1+2 k^2}+(m-1)^2 \\
&=\frac{2\left(m^2-1\right)\left(1+k^2\right)-4 k^2\left(m^2-m\right)+\left(1+2 k^2\right)\left(m-1^2\right)}{1+2 k^2}=0,
\end{aligned}
$$

化简整理得 $3 m^2-2 m-1=0$, 得 $m=-\frac{1}{3}$ 或 $m=1$.
当 $m=1$ 时, 直线 $A B$ 经过定点 $D$, 不满足题意.
当 $m=-\frac{1}{3}$ 时, 满足方程 $(*)$ 中 $\Delta > 0$, 故直线 $A B$ 经过 $y$ 轴上定点 $G\left(0,-\frac{1}{3}\right)$.
又 $Q$ 为过点 $D$ 作线段 $A B$ 的垂线的垂足, 故点 $Q$ 在以 $D G$ 为直径的圆上.
取 $D G$ 的中点为 $R\left(0, \frac{1}{3}\right)$, 则 $|R Q|$ 为定值, 且 $|R Q|=\frac{1}{2}|D G|=\frac{2}{3}$.
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