题号:2188    题型:解答题    来源:2023届湖南师大附中高三第一次月考数学
某公园要建造如图所示的绿地 $O A B C, O A 、 O C$ 为互相垂直的墙体, 已有材料可建成的围栏 $A B$ 与 $B C$ 的总长度为 12 米, 且 $\angle B A O=\angle B C O$. 设 $\angle B A O=\alpha\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$.
(1)当 $A B=3, \alpha=\frac{5 \pi}{12}$ 时, 求 $A C$ 的长;
(2) 当 $A B=6$ 时, 求 $O A B C$ 面积 $S$ 的最大值及此时 $\alpha$ 的值.
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答案:
解析: (1) 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, B C=9, \angle A B C=2 \pi-\frac{5 \pi}{12}-\frac{5 \pi}{12}-\frac{\pi}{2}=\frac{2 \pi}{3}$, 由余弦定理, 得 $A C^2=A B^2+B C^2-2 A B \cdot B C \cdot \cos \angle A B C=117$, 故 $A C=3 \sqrt{13}$. 因此 $A C$ 的长为 $3 \sqrt{13}$ 米.


(2) 由题意, $A B=B C=6, \angle A C B=\angle C A B, \angle A B C=2 \pi-2 \alpha-\frac{\pi}{2}$, 所以 $\angle O A C=\angle O C A=\frac{\pi}{4}$. 在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理得 $A C^2=72+72 \sin 2 \alpha$.
所以 $S_{\triangle A O C}=\frac{1}{4} A C^2=18+18 \sin 2 \alpha . S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 6 \times 6 \cdot \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-2 \alpha\right)=-18 \cos 2 \alpha$.

于是 $S=S_{\triangle A B C}+S_{\triangle A O C}=-18 \cos 2 \alpha+18+18 \sin 2 \alpha=18 \sqrt{2} \sin \left(2 \alpha-\frac{\pi}{4}\right)+18,0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. 当 $2 \alpha-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$, 即 $\alpha=\frac{3 \pi}{8}$ 时, $S$ 取到最大值, 最大值为 $18 \sqrt{2}+18$. 因此, 当 $\alpha=\frac{3 \pi}{8}$ 时, 养殖场 $O A B C$ 最大的面积为 $18 \sqrt{2}+18$ 平方米.

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