题号:2179    题型:多选题    来源:2023届湖南师大附中高三第一次月考数学
如图正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长 $a$, 以下结论正确的是
$A.$ 异面直线 $A_1 D$ 与 $A B_1$ 所成角为 $60^{\circ}$ $B.$ 直线 $A_1 D$ 与 $B C_1$ 垂直 $C.$ 直线 $A_1 D$ 与 $B D_1$ 平行 $D.$ 三棱雉 $A-A_1 C D$ 的体积为 $\frac{1}{6} a^3$
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答案:
ABD

解析:

如图所示, 以 $D$ 为原点, $D A, D C, D D_1$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标, 选项 A, $A_1(a, 0, a), D(0,0,0), A(a, 0,0), B_1(a, a, a)$



$$
\begin{aligned}
&\therefore \overrightarrow{A_1 D}=(-a, 0,-a), \overrightarrow{A B_1}=(0, a, a), \\
&\therefore \cos < \overrightarrow{A_1 D}, \overrightarrow{A B_1} > =\frac{\overrightarrow{A_1 D} \cdot \overrightarrow{A B_1}}{\left|\overrightarrow{A_1 D}\right|\left|\overrightarrow{A B_1}\right|}=\frac{-a^2}{\sqrt{2} a \cdot \sqrt{2} a}=-\frac{1}{2},
\end{aligned}
$$
异面直线 $A_1 D$ 与 $A B_1$ 所成角为 $60^{\circ}$, 故 $\mathbf{A}$ 正确;
选项 B, $C_1(0, a, a), B(a, a, 0), \therefore \overrightarrow{B C_1}=(-a, 0, a)$,

$\overrightarrow{A_1 D} \cdot \overrightarrow{B C_1}=(-a, 0,-a) \cdot(-a, 0, a)=a^2-a^2=0$, 直线 $A_1 D$ 与 $B C_1$ 垂直, 故 B 正确;
选项 C, $D_1(0,0, a), \therefore \overrightarrow{B D_1}=(-a,-a, a), \overrightarrow{A_1 D} \cdot \overrightarrow{B D_1}=(-a, 0,-a) \cdot(-a,-a, a)=a^2-a^2=0, \therefore$ 直线 $A_1 D$ 与 $B D_1$ 垂直, 不平行, 故 $\mathrm{C}$ 错误;
选项 D, 三棱雉 $A-A_1 C D$ 的体积 $=V_{C-A_1 A D}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} a^2 \cdot a=\frac{1}{6} a^3$, 故 D 正确; 故选 ABD.
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