如图正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长 $a$, 以下结论正确的是

$\text{A.}$ 异面直线 $A_1 D$ 与 $A B_1$ 所成角为 $60^{\circ}$ $\text{B.}$ 直线 $A_1 D$ 与 $B C_1$ 垂直 $\text{C.}$ 直线 $A_1 D$ 与 $B D_1$ 平行 $\text{D.}$ 三棱雉 $A-A_1 C D$ 的体积为 $\frac{1}{6} a^3$

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