如图正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长 $a$, 以下结论正确的是
A. 异面直线 $A_1 D$ 与 $A B_1$ 所成角为 $60^{\circ}$
B. 直线 $A_1 D$ 与 $B C_1$ 垂直
C. 直线 $A_1 D$ 与 $B D_1$ 平行
D. 三棱雉 $A-A_1 C D$ 的体积为 $\frac{1}{6} a^3$