徐州市 2021-2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

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徐州市 2021-2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x ∣ - 1 < x ⩽ 2}, B = {- 2, - 1, 0, 2, 4}

, 则

(∁_{R} A) \cap B =

A.

\emptyset

B.

{- 1, 2}

C.

{- 2, 4}

D.

{- 2, - 1, 4}

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2. 若幕函数

f (x)

的图象过点

(4, 2)

, 则

f (2)

的值为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\sqrt{2}

D.

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3. 命题 “

\forall x > 1, x^{2} + 1 > 2

” 的否定为

A.

\exists x ⩽ 1, x^{2} + 1 ⩽ 2

B.

\forall x > 1, x^{2} + 1 ⩽ 2

C.

\exists x > 1, x^{2} + 1 ⩽ 2

D.

\forall x ⩽ 1, x^{2} + 1 ⩽ 2

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4. 已知函数

f (x) = {\begin{matrix} {(\frac{1}{3})}^{x}, x ⩽ 0, \\ \log_{3} x - 2, x > 0, \end{matrix}

则

f (f (- 3))

的值为

A.

- 3

B.

- 2

C.

D.

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5. 已知函数

y = a^{x + 4} + 2 (a > 0

, 且

a \neq 1)

的图象恒过点

P

, 若角

α

的终边经过点

P

, 则

\cos α

的值为

A.

- \frac{4}{5}

B.

- \frac{2 \sqrt{2}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{3}

D.

\frac{3}{5}

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6. 设

m, n

为正数, 且

m + n = 2

, 则

\frac{4}{m + 1} + \frac{1}{n + 1}

的最小值为

A.

\frac{13}{4}

B.

\frac{9}{4}

C.

\frac{7}{4}

D.

\frac{9}{5}

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7. 设

a = 3^{- \frac{1}{2}}, b = \log_{\frac{1}{3}} 2, c = \tan 70^{\circ}

, 则

A.

a > c > b

B.

b > c > a

C.

c > b > a

D.

c > a > b

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8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线, 我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形, 也可以形象地称它为倒影曲线), 它对应的方程为

| y | = (3 - \frac{1}{3} [\frac{3 x}{π}]) \cdot | \sin ω x | (0 ⩽ x ⩽ 3 π)

(其中记

[x]

为不超过

x

的最大整数), 且过点

P (\frac{π}{6}, 3)

, 若葫芦曲线上一点

M

到

y

轴的距离为

\frac{17 π}{6}

, 则点

M

到

x

轴的距离为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{\sqrt{3}}{3}

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 使

x - \frac{1}{x} ⩽ 0

成立的一个充分条件可以是

A.

x < - 1

B.

0 < x < 1

C.

- 1 ⩽ x ⩽ 1

D.

x ⩽ 1

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10. 关于函数

f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})

, 下列说法中正确的是

A.

其最小正周期为

π

B.

其图象由

y = 2 \sin 2 x

向右平移

\frac{π}{3}

个单位而得到

C.

其表达式可以写成

f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{5 π}{6})

D.

其图象关于点

(- \frac{π}{3}, 0)

对称

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11. 下列说法中正确的是

A.

若

α

是第二象限角, 则点

P (\cos (- α), \tan (π + α))

在第三象限

B.

圆心角为

1 rad

, 半径为 2 的扇形面积为 2

C.

利用二分法求方程

\log_{2} x = 4 - x

的近似解，可以取的一个区间是

(2, 3)

D.

若

α \in (π, \frac{3 π}{2})

, 且

\sin α + \cos α = - \frac{7}{5}

, 则

\sin α - \cos α = - \frac{1}{5}

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12. 规定

max {a, b} = {\begin{cases} a, & a ⩾ b, \\ b, & a < b . \end{cases}

若函数

f (x) = max {\sin x, \cos x}

, 则

A.

f (x)

是以

2 π

为最小正周期的周期函数

B.

f (x)

的值域是

[- 1, 1]

C.

当且仅当

2 k π + π < x < 2 k π + \frac{3 π}{2} (k \in Z)

时,

f (x) < 0

D.

当且仅当

x \in [k π + \frac{π}{4}, k π + \frac{π}{2}] (k \in Z)

时, 函数

f (x)

单调递增【答案】

AC

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三、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

13.

e^{\ln 2} + 27^{- \frac{1}{2}} - \tan \frac{π}{4} + \lg 10^{- 2} =

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14. 函数

f (x) = \sqrt{1 - x} + \ln (x + 1)

的定义域为

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15. 若函数

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (a x - x^{2})

在

(2, 3)

单调递增, 则实数

a

的取值范围是

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16. 已知函数

f (x) = {\begin{array}{cc} | 4^{x} - 1 |, & x ⩽ 1, \\ \log_{2} x + 3, & x > 1, \end{array}

集合

M = {x ∣ f^{2} (x) - (2 t + \frac{1}{2}) f (x) + t = 0}

, 若集合

M

中有 3 个元素, 则实数

t

的取值范围是

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17. 在(1)

A \cup B = B;

(2) “

x \in A

” 是 “

x \in B

” 的充分条件; (3) “

x \in ∁_{R} A

” 是 “

x \in ∁_{R} B

” 的必要条件, 在这三个条件中任选一个, 补充到本题第(2)问的横线处, 求解下列问题.
问题: 已知集合

A = {x ∣ a ⩽ x ⩽ a + 2}, B = {x ∣ (x + 1) (x - 3) < 0}

.
(1)当

a = 2

时, 求

A \cap B

;
(2) 若（　　） , 求实数

a

的取值范围.
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

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18. 已知

\tan (π - θ) = 2, θ \in (\frac{π}{2}, π)

.
(1)求

\sin θ, \cos θ

的值;

（2）求

\frac{4 \cos (\frac{π}{2} - θ) - \sin (\frac{3 π}{2} + θ)}{3 \sin (π - θ) + 5 \cos (2 π - θ)}

的值.

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19. 对于函数

f (x)

, 若在其定义域内存在实数

x_{0}, t

, 使得

f (x_{0} + t) = f (x_{0}) + f (t)

成立, 则称

f (x)

是 “

t

跃点”函数, 并称

x_{0}

是函数

f (x)

的 1 个 “

t

跃点”.
(1) 求证：函数

f (x) = 2^{x} + 2 x^{2}

在

[0, 1]

上是 “ 1 跃点” 函数;
(2) 若函数

g (x) = x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} - 3

在

(- 2, + \infty)

上存在 2 个 “ 1 跃点”, 求实数

a

的取值范围;
(3) 是否同时存在实数

m

和正整数

n

使得函数

h (x) = \cos 2 x - m

在

[0, n π]

上有 2022 个 “隶跃点” ? 若存在, 请求出

m

和

n

满足的条件, 若不存在, 请说明理由.

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四、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

20. 水车在古代是进行灌溉引水的工具, 是人类的一项古老的发明, 也是人类利用自然和改造自然的象征. 如图一个半径为

R m

的水车, 当水车上水斗

A

从水中浮现时开始计算时间, 点

A

沿圆周按逆时针方向匀速旋转, 且旋转一周用时 60 秒, 经过

t

秒后, 水斗旋转到点

P

, 已知

A (2 \sqrt{3}, - 2)

, 设点

P

的坐标为

(x, y)

, 歩纵坐标满足

y = f (t) = R \sin (ω t + φ) (t ⩾ 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

.
(1) 求函数

f (t)

的解析式;
(2)当水车转动一圈时, 求点

P

到水面的距离不低于

4 m

的持续时间.

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21. 已知函数

f (x) = \log_{2} (\frac{2}{x - 1} + 1), g (x) = - 2^{x + 1}

.
(1)求证：

f (x)

为奇函数;
(2)若

2^{f (2^{*})} - k ⩾ g (x)

恒成立, 求实数

k

的取值范围;
(3) 解关于

a

的不等式

g (a) - g (2 - a) ⩽ 2 a - 2

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22. 已知函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) + B (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

的部分图象如图所示.
(1) 求函数

f (x)

的解析式;
(2) 将函数

y = f (x)

的图象上所有的点向右平移

\frac{π}{12}

个单位, 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到函数

y = g (x)

的图象.
(1)当

x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{2}]

时, 求函数

g (x)

的值域;
(2)若方程

g (x) - m = 0

在

[0, \frac{7 π}{3}]

上有三个不相等的实数根

x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})

, 求

\tan (x_{1}

+ 2 x_{2} + x_{3})

的值.

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