题号:1335    题型:填空题    来源:徐州市 2021-2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
已知函数 $f(x)=\log _{2}\left(\frac{2}{x-1}+1\right), g(x)=-2^{x+1}$.
(1)求证: $f(x)$ 为奇函数;
(2)若 $2^{f\left(2^{*}\right)}-k \geqslant g(x)$ 恒成立, 求实数 $k$ 的取值范围;
(3) 解关于 $a$ 的不等式 $g(a)-g(2-a) \leqslant 2 a-2$.
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答案:
证明: $(1) \frac{2}{x-1}+1 > 0,(x-1)(x+1) > 0, x < -1$ 或 $x > 1, f(x)=\log _{2}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$,
$$
f(-x)=\log _{2}\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right)=\log _{2}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=-f(x) \text {, 故 } f(x) \text { 为奇函数. }
$$

(2) $\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}-k+2^{x^{+}} 1 \geqslant 0, k \leqslant \frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}+2^{x+1}$,
而 $\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}+2^{x+1}=3+\frac{2}{2^{x}-1}+2^{x+1}-2 \geqslant 2 \sqrt{\left(2^{x+1}-2\right) \cdot \frac{2}{2^{x}-1}}+3=7$,
当且仅当 $\frac{2}{2^{x}-1}=2^{x+1}-2$, 即 $x=1$ 时, 取 “ $=$ ”, 故 $k$ 的取值范围: $(-\infty, 7]$.

(3) $g(a)-a \leqslant g(2-a)-(2-a)$, 令 $h(x)=g(x)-x$, 则 $h(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调减,
故 $h(a) \leqslant h(2-a) \Leftrightarrow a \geqslant 2-a, a \geqslant 1$.

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