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已知函数 $f(x)=\log _{2}\left(\frac{2}{x-1}+1\right), g(x)=-2^{x+1}$.
(1)求证： $f(x)$ 为奇函数;
(2)若 $2^{f\left(2^{*}\right)}-k \geqslant g(x)$ 恒成立, 求实数 $k$ 的取值范围;
(3) 解关于 $a$ 的不等式 $g(a)-g(2-a) \leqslant 2 a-2$.
                        
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