对于函数 $f(x)$, 若在其定义域内存在实数 $x_{0}, t$, 使得 $f\left(x_{0}+t\right)=f\left(x_{0}\right)+f(t)$ 成立, 则称 $f(x)$ 是 “ $t$ 跃点”函数, 并称 $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的 1 个 “ $t$ 跃点”.
(1) 求证：函数 $f(x)=2^{x}+2 x^{2}$ 在 $[0,1]$ 上是 “ 1 跃点” 函数;
(2) 若函数 $g(x)=x^{3}+\frac{1}{2} a x^{2}-3$ 在 $(-2,+\infty)$ 上存在 2 个 “ 1 跃点”, 求实数 $a$ 的取值范围;
(3) 是否同时存在实数 $m$ 和正整数 $n$ 使得函数 $h(x)=\cos 2 x-m$ 在 $[0, n \pi]$ 上有 2022 个 “隶跃 点” ? 若存在, 请求出 $m$ 和 $n$ 满足的条件, 若不存在, 请说明理由.