2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

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2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 2 x > 0}, B = {x ∣ - \sqrt{5} < x < \sqrt{5}}

, 则（ )

A.

A \cap B = \emptyset

B.

A \cup B = R

C.

B \subseteq A

D.

A \subseteq B

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2. 若复数

z

满足 (3-

4 i) z = | 4 + 3 i |

, 则

z

的虚部为（）

A.

- 4

B.

- \frac{4}{5}

C.

D.

\frac{4}{5}

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3. 为了解某地区中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大. 在下面的抽样方法中, 最合理的抽样方法是（）

A.

简单的随机抽样

B.

按性别分层抽样

C.

按学段分层抽样

D.

系统抽样

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4. 已知双曲线

c : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为

\frac{\sqrt{5}}{2}

, 则

c

的渐近线方程为 ( )

A.

y = \pm \frac{1}{4} x

B.

y = \pm \frac{1}{3} x

C.

y = \pm x

D.

y = \pm \frac{1}{2} x

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5. 执行程序框图, 如果输入的

t \in [- 1, 3]

则输出的

s

属于（ )

A.

[- 3, 4]

B.

[- 5, 2]

C.

[- 4, 3]

D.

[- 2, 5]

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6. 如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高

8 cm

, 将一个球放在容器口, 再向容器注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为

6 cm

, 如不计容器的厚度, 则球的体积为 ( )

A.

\frac{500 π}{3} {cm}^{3}

B.

\frac{866 π}{3} {cm}^{3}

C.

\frac{1372 π}{3} {cm}^{3}

D.

\frac{2048 π}{3} {cm}^{3}

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7. 设等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

S_{m - 1} = - 2, S_{m} = 0, S_{m + 1} = 3

, 则

m =

（　　）

A.

B.

C.

D.

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.

16 + 8 π

B.

8 + 8 π

C.

16 + 16 π

D.

8 + 16 π

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9. 设

m

为正整数,

(x + y)^{2 m}

展开式的二项式系数的最大值为

a, (x + y)^{2 m + 1}

展开式的二项式系数的最大值为

b

, 若

13 a = 7 b

, 则

m = ()

A.

B.

C.

D.

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10. 已知椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F (3, 0)

, 过点

F

的直线交椭圆

E

于

A 、 B

两点. 若

A B

的中点坐标为

(1, - 1)

, 则

E

的方程为 ( )

A.

\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{36} = 1

B.

\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1

C.

\frac{x^{2}}{27} + \frac{y^{2}}{18} = 1

D.

\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1

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11. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 2 x, & x ⩽ 0 \\ \ln (x + 1), & x > 0 \end{cases}

若

| f (x) | ⩾ a x

, 则

a

的取值范围是（）

A.

(- \infty, 0]

B.

(- \infty, 1]

C.

[- 2, 1]

D.

[- 2, 0]

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12. 设

△ A_{n} B_{n} C_{n}

的三边长分别为

a_{n}, b_{n}, c_{n}, △ A_{n} B_{n} C_{n}

的面积为

S_{n}, n = 1

, 2, 3...若

b_{1} > c_{1}, b_{1} + c_{1} = 2 a_{1}, a_{n + 1} = a_{n}, b_{n + 1} = \frac{c_{n} + a_{n}}{2}, c_{n + 1} = \frac{b_{n} + a_{n}}{2}

, 则 ( )

A.

{S_{n}}

为递减数列

B.

{S_{n}}

为递增数列

C.

{S_{2 n - 1}}

为递增数列,

{S_{2 n}}

为递减数列

D.

{S_{2 n - 1}}

为递减数列,

{S_{2 n}}

为递增数列

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知两个单位向量

\vec{a}, \vec{b}

的夹角为

60^{\circ}, \vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}

. 若

\vec{b} ∙ \vec{c} = 0

, 则

t =

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14. 若数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{1}{3}

, 则数列

{a_{n}}

的通项公式是

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15. 设当

x = θ

时，函数

f (x) = \sin x - 2 \cos x

取得最大值, 则

\cos θ =

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16. 若函数

f (x) = (1 - x^{2}) (x^{2} + a x + b)

的图象关于直线

x = - 2

对称, 则

f (x)

的最大值为

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 如图, 在

△ ABC

中,

∠ ABC = 90^{\circ}, AB = \sqrt{3}, BC = 1, P

为

△ ABC

内一点,

∠ B P C = 90^{\circ}

.
（1）若

P B = \frac{1}{2}

, 求

P A

;
(2) 若

∠ APB = 150^{\circ}

, 求

\tan ∠ PBA

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18. 如图, 三棱柱

ABC - A_{1} B_{1} C_{1}

中,

CA = CB, AB = {AA}_{1}, ∠ BAA = 60^{\circ}

.
(I) 证明

A B ⊥ A_{1} C

;
(II) 若平面

A B C ⊥

平面

A_{1} B_{1} B, A B = C B = 2

, 求直线

A_{1} C

与平面

B_{1} C_{1} C

所成角的正弦值.

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19. 一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为

n

. 如果

n = 3

, 再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品, 则这批产品通过检验如果

n = 4

, 再从这批产品中任取 1 件作检验, 若为优质品, 则这批产品通过检验; 其他情况下, 这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为

50 %

, 即取出的产品是优质品的概率都为

\frac{1}{2}

, 且各件产品是否为优质品相互独立.
(I) 求这批产品通过检验的概率;
(II ) 已知每件产品检验费用为 100 元, 凡抽取的每件产品都需要检验, 对这批产品作质量检验所需的费用记为

X

(单位: 元), 求

X

的分布列及数学期望.

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20. 已知圆

M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 1

, 圆

N : (x - 1)^{2} + y^{2} = 9

, 动圆

P

与圆

M

外切并与圆

N

内切, 圆心

P

的轨迹为曲线

C

.
(I ) 求 C 的方程;
(II)

I

是与圆

P

, 圆

M

都相切的一条直线,

I

与曲线

C

交于

A, B

两点, 当圆

P

的半径最长时, 求

| A B |

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21. 已知函数

f (x) = x^{2} + a x + b, g (x) = e^{x} (c x + d)

, 若曲线

y = f (x)

和曲线

y = g (x)

都过点

P (0, 2)

, 且在点

P

处有相同的切线

y = 4 x + 2

.
(I) 求

a, b, c, d

的值;
(II) 若

x ⩾ - 2

时,

f (x) ⩽ k g (x)

, 求

k

的取值范围.

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22. 如图, 直线

A B

为圆的切线, 切点为

B

, 点

C

在圆上,

∠ A B C

的角平分线

B E

交圆于点

E, D B

垂直

B E

交圆于

D

.
(I ) 证明: DB=DC;
(II) 设圆的半径为

1, B C = \sqrt{3}

, 延长

C E

交

A B

于点

F

, 求

△ B C F

外接圆的半径.

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23. 已知曲线

C_{1}

的参数方程为

{\begin{cases} x = 4 + 5 \cos t \\ y = 5 + 5 \sin t \end{cases}

(

t

为参数), 以坐标原点为极点,

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线

C_{2}

的极坐标方程为

ρ = 2 \sin θ

.
(1) 把

C_{1}

的参数方程化为极坐标方程;
(2) 求

C_{1}

与

C_{2}

交点的极坐标

(ρ ⩾ 0, 0 ⩽ θ < 2 π)

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24. 已知函数

f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + a |, g (x) = x + 3

.
（I）当

a = - 2

时, 求不等式

f (x) < g (x)

的解集;
（II ）设

a > - 1

, 且当

x \in [- \frac{a}{2}, \frac{1}{2}]

时,

f (x) ⩽ g (x)

, 求

a

的取值范围.

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