题号:641    题型:单选题    来源:2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$, 过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A 、 B$ 两点. 若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$, 则 $E$ 的方程 为 ( )
$A.$ $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{36}=1$ $B.$ $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1$ $C.$ $\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{18}=1$ $D.$ $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$
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答案:
D

解析:

解:设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,
代入椭圆方程得
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \\
\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1
\end{array}\right. \text {, }
$$
相减得 $\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}=0$,

$$
\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}} \cdot \frac{y_{1}+y_{2}}{b^{2}}=0 .
$$
$$
\because x_{1}+x_{2}=2, y_{1}+y_{2}=-2, \quad k_{A B}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{-1-0}{1-3}-\frac{1}{2} .
$$
$$
\therefore \frac{2}{a^{2}}+\frac{1}{2} \times \frac{-2}{b^{2}}=0 \text {, }
$$
化为 $a^{2}=2 b^{2}$, 又 $c=3=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$, 解得 $a^{2}=18, b^{2}=9$.
$\therefore$ 椭圆 $\mathrm{E}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$.
故选: D.
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