题号:649    题型:解答题    来源:2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
如图, 三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中, $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}, \mathrm{AB}=\mathrm{AA}_{1}, \angle \mathrm{BAA}=60^{\circ}$.
(I) 证明 $A B \perp A_{1} C$;
(II) 若平面 $A B C \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} B, A B=C B=2$, 求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B_{1} C_{1} C$ 所成角的 正弦值.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 0 次查看 我来讲解
答案:
解: ( I ) 取 $A B$ 的中点 $\mathrm{O}$, 连接 $O C, O A_{1}, A_{1} B$, 因为 $C A=C B$, 所以 $O C \perp A B$, 由于 $A B=A A_{1}, \angle B A A_{1}=60^{\circ}$,
所以 $\triangle A A_{1} B$ 为等边三角形, 所以 $O A_{1} \perp A B$,
又因为 $O C \cap O A_{1}=O$, 所以 $A B \perp$ 平面 $O A_{1} C$,
又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 平面 $\mathrm{OA}_{1} \mathrm{C}$, 故 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$;
(II ) 由 ( I ) 知 $O C \perp A B, O A_{1} \perp A B$, 又平面 $A B C \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$, 交线为 $A B$, 所以 $O C \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$, 故 $O A, O A_{1}, O C$ 两两垂直.
以 $O$ 为坐标原点, $\overrightarrow{O A}$ 的方向为 $x$ 轴的正向, $|\overrightarrow{O A}|$ 为单位长, 建立如图所示的坐 标系,
可得 $A(1,0,0), A_{1}(0, \sqrt{3}, 0), C(0,0, \sqrt{3}), B(-1,0,0)$, 则 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(1,0, \sqrt{3}), \overrightarrow{\mathrm{BB}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AA}_{1}}=(-1, \sqrt{3}, 0), \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}=(0,-\sqrt{3}, \sqrt{3})$,
设 $\vec{n}=(x, y, z)$ 为平面 $B_{1} C_{1} C$ 的法向量, 则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B B}=0\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3} z=0 \\ -x+\sqrt{3} y=0\end{array}\right.$, 可取 $\mathrm{y}=1$, 可得 $\vec{n}=(\sqrt{3}, 1,-1)$, 故 $\cos < \overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}} > =\frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}|\left|\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}\right|}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值, 故直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 与平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 所成角的正弦值为: $\frac{\sqrt{10}}{5}$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭