题号:637    题型:单选题    来源:2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 $8 \mathrm{~cm}$, 将 一个球放在容器口, 再向容器注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 $6 \mathrm{~cm}$, 如不计容器的厚度, 则球的体积为 ( )
$A.$ $\frac{500 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$ $B.$ $\frac{866 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$ $C.$ $\frac{1372 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$ $D.$ $\frac{2048 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$
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答案:
A

解析:

解:设正方体上底面所在平面截球得小圆 $M$,
则圆心 $M$ 为正方体上底面正方形的中心. 如图.
设球的半径为 $R$, 根据题意得球心到上底面的距离等于 $(R-2) \mathrm{cm}$,
而圆 $M$ 的半径为 4 , 由球的截面圆性质, 得 $R^{2}=(R-2)^{2}+4^{2}$,
解出 $R=5$,
$\therefore$ 根据球的体积公式, 该球的体积 $V=\frac{4 \pi}{3} R^{3}=\frac{4 \pi}{3} \times 5^{3}=\frac{500 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$.
故选: A.
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