题号:650    题型:解答题    来源:2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
类型:高考真题
一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 $n$. 如果 $n=3$, 再从这批产品中任 取 4 件作检验, 若都为优质品, 则这批产品通过检验 如果 $n=4$, 再从这批产 品中任取 1 件作检验, 若为优质品, 则这批产品通过检验; 其他情况下, 这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 $50 \%$, 即取出的产品是 优质品的概率都为 $\frac{1}{2}$, 且各件产品是否为优质品相互独立.
(I) 求这批产品通过检验的概率;
(II ) 已知每件产品检验费用为 100 元, 凡抽取的每件产品都需要检验, 对这批 产品作质量检验所需的费用记为 $\mathrm{X}$ (单位: 元), 求 $\mathrm{X}$ 的分布列及数学期望.
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答案:
解: (I )设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 $\mathrm{A}_{1}$, 第
一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 $\mathrm{A}_{2}$,
第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 $B_{1}$, 第二次取出的 1 件产品是优质品
为事件 $B_{2}$,
这批产品通过检验为事件 $A$, 依题意有 $A=\left(A_{1} B_{1}\right) \cup\left(A_{2} B_{2}\right)$, 且 $A_{1} B_{1}$ 与 $A_{2} B_{2}$
互斥,
所以 $P(A)=P\left(A_{1} B_{1}\right)+P\left(A_{2} B_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(B_{1} \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) P\left(B_{2} \mid A_{2}\right)$ $=\frac{4}{16} \times \frac{1}{16}+\frac{1}{16} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{64}$
(II ) $X$ 可能的取值为 $400,500,800$, 并且 $P(X=800)=\frac{1}{4}, P(X=500)=\frac{1}{16}$,
$P(X=400)=1-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}=\frac{11}{16}$, 故 $X$ 的分布列如下:


故 $E X=400 \times \frac{11}{16}+500 \times \frac{1}{16}+800 \times \frac{1}{4}=506.25$

解析:

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