2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷

导出试卷

2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

M = {x ∣ \log_{2} x < 1}

, 集合

N = {x ∣ - 1 < x < 1}

, 则

M ⋃ N =

A.

(0, 1)

B.

(- 1, 2)

C.

(0, 2)

D.

(- \infty, 2)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 2022 年三九天从农历腊月十八开始计算, 也就是 2023 年 1 月 9 日至 17 日, 是我国北方地区一年中最冷的时间. 如图是北方某市三九天气预报气温图, 则下列对这 9 天判断错误的是

A.

昼夜温差最大为

12^{\circ} C

B.

昼夜温差最小为

4 C

C.

有 3 天昼夜温差大于

10^{\circ} C

D.

有 3 天昼夜温差小于

7^{\circ} C

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 已知

\sin θ + 2 \cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{5}{4}

, 则

\sin 2 θ =

A.

- \frac{15}{16}

B.

\frac{15}{16}

C.

- \frac{3}{4}

D.

\frac{3}{4}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 在

△ A B C

中,

B C = 2, \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8

, 若

D

是

B C

的中点, 则

A D =

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

图象上相邻两条对称轴之间的距离为

\frac{π}{2}

, 将函数

y = f (x)

的图象向左平移

\frac{π}{3}

个单位后, 得到的图象关于

y

轴对称, 则函数

f (x)

的一个零点是

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{12}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{5 π}{12}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 已知

⊙ O, x^{2} + y^{2} = 4, ⊙ C

与一条坐标轴相切, 圆心在直线

x - y + 7 = 0

上. 若

⊙ C

与

⊙ O

相切, 则满足条件的

⊙ C

有

A.

1 个

B.

2个

C.

3 个

D.

4 个

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 已知圆锥

D O

的轴截面为等边三角形,

△ A B C

是底面

⊙ O

的内接正三角形, 点

P

在

D O

上, 且

P O = λ D O

. 若

P A ⊥

平面

P B C

, 则实数

λ =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{6}}{3}

C.

\frac{\sqrt{6}}{4}

D.

\frac{\sqrt{6}}{6}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

8. 已知动圆过定点

M (0, 4)

, 且在

x

轴上截得的弦

A B

的长为 8 . 过此动圆圆心轨迹

C

上一个定点

P (m, 2)

引它的两条弦

P S, P T

, 若直线

P S, P T

的倾斜角互为补角, 记直线

S T

的斜率为

k

, 则

m k =

A.

B.

C.

-4

D.

-2

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 数列

{a_{n}}

满足:

a_{1} = 1, a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1} = 4 a_{n} (n ⩾ 2)

, 则下列结论中正确的是

A.

a_{2} = \frac{1}{4}

B.

a_{n + 1} = \frac{5}{4} a_{n}, n ⩾ 2

C.

{a_{n}}

是等比数列

D.

a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = {(\frac{5}{4})}^{n - 1}, n \in N^{*}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 已知

e

是自然对数的底数, 则下列不等关系中正确的是

A.

e^{π} > 3^{c}

B.

π^{ϵ} < e^{π}

C.

2^{e} < e^{2}

D.

e^{3} < 3^{e}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

11. 已知

f (x) (x \in R)

为偶函数, 且

f (x - \frac{3}{2}) = f (x + \frac{1}{2})

恒成立. 当

x \in [2, 3]

时

f (x) = x

. 则下列四个命題中, 正确的是

A.

f (x)

的周期是

2 k (k \neq 0, k \in Z)

B.

f (x)

的图象关于点

(1, 0)

对称

C.

当

x \in [- 3, - 2]

时,

f (x) = - x

D.

当

x \in [- 2, 0]

时,

f (x) = 3 - | x + 1 |

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 已知正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的棱长为

1, E, F

分别是棱

A_{1} D_{1}

和棱

C_{1} D_{1}

的中点,

G

为棱

B C

上的动点 (不含端点). 下列说法中正确的是

A.

当

G

为棱

B C

的中点时,

△ E F G

是锐角三角形

B.

三棱雉

D_{1} - E F G

的体积为定值

C.

△ E F G

面积的取值范围是

(\frac{3}{8}, \frac{\sqrt{17}}{8})

D.

若异面直线

A B

与

E G

所成的角为

α

, 则

\sin α \in [\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{3}

)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 若复数

z = \frac{i}{2 - i}

(

i

是虚数单位) 的共轭复数是

\bar{z}

, 则

z - \bar{z}

的虚部是

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14. 2022 年 12 月 18 日在卡塔尔世界杯决赛中, 阿根廷队以总分 7 比 5 战胜法国队, 历时 28 天的 2022 卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕. 随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这 4 场足球赛 (如图), 某人随机选 3 场进行观看, 其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

15. 过点

A (0, 1)

作斜率为

k

的直线

l

交双曲线

x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1

于

P_{1}, P_{2}

两点, 线段

P_{1} P_{2}

的中点在直线

x = \frac{1}{2}

上, 则实数

k

的值为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

16. 已知直线

l

与曲线

y = e^{x} 、 y = 2 + \ln x

都相切, 则直线

l

的方程为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 在锐角

△ A B C

中,

B C

在

A B

上的投影长等于

△ A B C

的外接圆半径

R

.
(1) 求

\sin A \cos B

的值;
(2) 若

4 \cos A \sin B = 1

, 且

A B = 3

, 求

R

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

18. 2022 年北京冬奥会圆满落幕, 随后多所学校掀起了 “雪上运动” 的热潮. 为了解学生对 “雪上运动” 的喜爱程度, 某学校从全校学生中随机抽取 200 名学生进行问卷调查, 得到以下数据:

(1) 完成

2 \times 2

列联表, 依据小概率值

α = 0.01

的

χ^{2}

独立性检验, 能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?
(2) (i) 从随机抽取的这 200 名学生中采用分层抽样的方法抽取 20 人, 再从这 20 人中随机抽取 3 人. 记事件

A =

“至少有 2 名是男生”, 事件

B =

“至少有 2 名喜欢雪上运动的男生”, 事件

C =

“至多有 1 名喜欢雪上运动的女生”. 试计算

P (A) \cdot P (B ∣ A) \cdot P (C ∣ A B)

和

P (A B C)

的值, 并比较它们的大小.
(ii) ( i ) 中

P (A B C)

与

P (A) \cdot P (B ∣ A) \cdot P (C ∣ A B)

的大小关系能否推广到更一般的情形? 请写出结论, 并说明理由.
参考公式及数据

χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

19. 已知数列

{a_{n}}

的各项均为正数, 其前

n

项和为

S_{n}

, 且

a_{n}^{2} - 2 S_{n} \cdot a_{n} + 1 = 0

.
(1) 求

a_{n}

和

S_{n}

;
(2) 若

n ⩾ 3

, 证明:

\frac{1}{S_{1}^{2}} + \frac{1}{S_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}^{2}} > 2 (1 - \frac{1}{2^{4}})

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

20. 20. (12 分) 如图, 在直三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

中,

D

为

A_{1} B

上一点,

A D ⊥

平面

A_{1} B C

.
(1) 求证:

B C ⊥ A_{1} B

;
(2) 若

A D = \sqrt{3}, A B = B C = 2, P

为

A C

的中点, 求二面角

A - A, B - P

的余弦值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

21. 已知

F_{1}, F_{2}

为椭圆

C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1

的左右焦点,

P

为椭圆

C

上一点. 若

△ P F_{1} F_{2}

为直角三角形, 且

| P F_{1} | ⩾ | P F_{2} |

.
(1) 求

\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}

的值;

(2) 若直线

l : y = k x + m (k \neq 0)

与椭圆

C

交于

A, B

两点, 线段

A B

的垂直平分线经过点

N (0, - \frac{1}{2})

, 求实数

m

的取值范围.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

22. 已知函数

f (x) = e^{x} + a \cos x

, 其中

x > 0, a \in R

.
(1) 当

a = - 1

时, 讨论

f (x)

的单调性;
(2) 若函数

f (x)

的导函数

f^{'} (x)

在

(0, π)

内有且仅有一个极值点, 求

a

的取值范围.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。