题号:
5834
题型:
填空题
来源:
2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷
过点 $A(0,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 于 $P_1, P_2$ 两点, 线段 $P_1 P_2$ 的 中点在直线 $x=\frac{1}{2}$ 上, 则实数 $k$ 的值为
0
人点赞
纠错
46
次查看
我来讲解
答案：
答案：
$\sqrt{3}-1$
解析：
解: 设 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right)$, 线段 $P_1 P_2$ 的中点坐标为 $\left(\frac{1}{2}, y_0\right)$, 则 $x_1+x_2=2 \times \frac{1}{2}=1$, 因为 $P_1, P_2$ 两点在双曲线上,
所以 $\left\{\begin{array}{l}x_1^2-\frac{y_1^2}{2}=1 \\ x_2^2-\frac{y_2^2}{2}=1\end{array}\right.$, 两式相减得, $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{2\left(x_1+x_2\right)}{y_1+y_2}=\frac{1}{y_0}$,
又直线 $l$ 过点 $A(0,1)$, 所以 $k=\frac{y_0-1}{\frac{1}{2}-0}=2\left(y_0-1\right)$,
所以 $\frac{1}{y_0}=2\left(y_0-1\right)$, 解得 $y_0=\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$,
所以 $k=2\left(y_0-1\right)= \pm \sqrt{3}-1$,
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+1 \\ x^2-\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$, 得 $\left(2-k^2\right) x^2-2 k x-3=0$,
因为直线 $l$ 与双曲线有两个交点, 所以 $\triangle=4 k^2+12\left(2-k^2\right)>0$, 即 $-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$,
所以 $k=\sqrt{3}-1$.
故答案为: $\sqrt{3}-1$.
关闭页面
下载Word格式