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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_n^2-2 S_n \cdot a_n+1=0$.
(1) 求 $a_n$ 和 $S_n$;
(2) 若 $n \geqslant 3$, 证明: $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}+\ldots+\frac{1}{S_n^2}>2\left(1-\frac{1}{2^4}\right)$.
                        
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