2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_n^2-2 S_n \cdot a_n+1=0$.
(1) 求 $a_n$ 和 $S_n$;
(2) 若 $n \geqslant 3$, 证明: $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}+\ldots+\frac{1}{S_n^2}>2\left(1-\frac{1}{2^4}\right)$.

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答案：

(1) 解: 由题意, 当 $n=1$ 时, $a_1^2-2 S_1 \cdot a_1+1=0$,
即 $a_1^2-2 a_1 \cdot a_1+1=0$, 解得 $a_1=1$,
当 $n \geqslant 2$ 时, 将 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 代入 $a_n^2-2 S_n \cdot a_n+1=0$,
可得 $\left(S_n-S_{n-1}\right)^2-2 S_n \cdot\left(S_n-S_{n-1}\right)+1=0$,
化简整理, 得 $S_n^2-S_{n-1}^2=1$,
$\because S_1^2=a_1^2=1$
$\therefore$ 数列 $\left\{S_n^2\right\}$ 是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列,
$\therefore S_n^2=1+1 \cdot(n-1)=n$,
$\therefore S_n=\sqrt{n}, n \in N^*$,
$\because$ 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n=S_n-S_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$,
当 $n=1$ 时, $a_1=1$ 也满足上式,
$$
\therefore a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}, n \in N^* \text {. }
$$
(2) 证明: 由题意, 当 $n \geqslant 3$ 时, $n < 2^{n-1}$, 则 $\frac{1}{n}>\frac{1}{2^{n-1}}$
则 $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}+\frac{1}{S_3^2}+\cdots+\frac{1}{S_n^2}$

$$
\begin{aligned}
& =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} \\
& >1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}} \\
= & 2\left(1-\frac{1}{2^n}\right),
\end{aligned}
$$
故当 $n \geqslant 3$ 时, 不等式 $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}+\ldots+\frac{1}{S_n^2}>2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$ 恒成立.

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