2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知直线 $l$ 与曲线 $y=e^x 、 y=2+\ln x$ 都相切, 则直线 $l$ 的方程为

答案：

$y=e x$ 或 $y=x+1$

解析：

解: 设直线 $l$ 与曲线 $y=e^x$ 的切点为 $\left(m, e^m\right)$,
由 $y=e^x$, 得 $y^{\prime}=e^x$, 则直线 $l$ 的方程为 $y-e^m=e^m(x-m)$, 即 $y=e^m x-m e^m+e^m$, 设直线 $l$ 与曲线 $y=2+\ln x$ 的切点为 $(n, 2+\ln n)$,
由 $y=2+\ln x$, 得 $y^{\prime}=\frac{1}{x}$, 则直线 $l$ 的方程为 $y-(2+\ln n)=\frac{1}{n}(x-n)$, 即 $y=\frac{1}{n} x+1+\ln n$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}e^m=\frac{1}{n} \\ e^m-m e^m=1+l n n\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}m=1 \\ n=\frac{1}{e}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}m=0 \\ n=1\end{array}\right.$,

所直线 $l$ 的方程为 $y=e x$ 或 $y=x+1$.
故答案为: $y=e x$ 或 $y=x+1$.

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