已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $1, E, F$ 分别是棱 $A_1 D_1$ 和棱 $C_1 D_1$ 的中点, $G$ 为棱 $B C$ 上的动点 (不含端点). 下列说法中正确的是
$ \text{A.}$ 当 $G$ 为棱 $B C$ 的中点时, $\triangle E F G$ 是锐角三角形
$ \text{B.}$ 三棱雉 $D_1-E F G$ 的体积为定值
$ \text{C.}$ $\triangle E F G$ 面积的取值范围是 $\left(\frac{3}{8}, \frac{\sqrt{17}}{8}\right)$
$ \text{D.}$ 若异面直线 $A B$ 与 $E G$ 所成的角为 $\alpha$, 则 $\sin \alpha \in\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right.$ )