题号:
5829
题型:
多选题
来源:
2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷
已知 $e$ 是自然对数的底数, 则下列不等关系中正确的是
$ \text{A.}$ $e^\pi>3^c$
$ \text{B.}$ $\pi^\epsilon < e^\pi$
$ \text{C.}$ $2^e < e^2$
$ \text{D.}$ $e^3 < 3^e$
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答案：
答案：
ABC
解析：
解: $B C D$ 选项等价于 $\ln \pi < \frac{\pi}{e}, \ln 2 < \frac{2}{e}, \ln 3>\frac{3}{e}$, 构造函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{e}, x>0$, 则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$, 当 $0 < x < e$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 在 $(0, e)$ 内单调递增: 当 $x>e$ 时, $f^{\prime}(x) < 0$, $f(x)$ 在 $(e,+\infty)$ 内单调递减.
因此 $f(x)_{\max }=f(\mathrm{e})=\ln e-1=0$, 于是 $\ln \pi < \frac{\pi}{e}, \ln 2 < \frac{2}{e}, \ln 3>\frac{3}{e}$, 故 $\pi^e < e^\pi, 2^e < e^2$, $e^3>3^e$, 所以 $B C$ 正确, $D$ 错误, 故 $e^\pi>\pi^e>3^e$, 所以 $A$ 正确.
故选: $A B C$.
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