2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_1=1, a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}=4 a_n(n \geqslant 2)$, 则下列结论中正确的是

$ \text{A.}$ $a_2=\frac{1}{4}$ $ \text{B.}$ $a_{n+1}=\frac{5}{4} a_n, n \geqslant 2$ $ \text{C.}$ $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列 $ \text{D.}$ $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}, n \in N^*$

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答案：

ABD

解析：

解：对于 $A: a_1=1, a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}=4 a_n(n \geqslant 2)$,
$\therefore$ 当 $n=2$ 时, $a_1=4 a_2$, 解得 $a_2=\frac{1}{4}$, 故 $A$ 正确:
对于 $B: a_1=1, a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}=4 a_n(n \geqslant 2)$ (1), 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=4 a_{n+1}$ (2), 由(2) - (1)得 $a_n=4 a_{n+1}-4 a_n$, 即 $5 a_n=4 a_{n+1}$,
$$
\therefore a_{n+1}=\frac{5}{4} a_n \text {, }
$$
又 $a_2=\frac{5}{4} a_1$, 故 $B$ 正确;
对于 $C \because$ 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_{n+1}=\frac{5}{4} a_n, a_2=\frac{1}{4} a_1$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 不是等比数列, 故 $C$ 错误;
对于 $D$ : 由选项 $A$ 得 $a_1=1, a_2=\frac{1}{4}$,
$\therefore a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=1+\frac{\frac{1}{4}\left[1-\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}\right]}{1-\frac{5}{4}}=\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}$, 故 $D$ 正确,

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