一、单选题 （共 72 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设复数 $z$ 满足$|z-i|=1$，$z$ 在复平面内对应的点为$(x，y)$，则 （ ）
$\text{A.}$ $(x+1)^2+y^2=1$
$\text{B.}$ $(x-1)^2+y^2=1$
$\text{C.}$ $x^2+(y-1)^2=1$
$\text{D.}$ $x^2+(y+1)^2=1$
设$2(z+\overline{z}) +3(z-\overline{z})=4+6i$,则$z=$ （ ）
$\text{A.}$ $1-2i$
$\text{B.}$ $1+2i$
$\text{C.}$ $1+i$
$\text{D.}$ $1-i$
已知 $a, b \in R, i$ 是虚数单位. 若 $(1+i)(1-b i)=a$, 则 $\frac{a}{b}$ 的值为 （ ）
$\text{A.}$ $3$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $-2$
$\text{D.}$ $-3$
设 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$, 且 $(\mathrm{a}+\mathrm{i})^{2} \mathrm{i}$ 为正实数, 则 $\mathrm{a}=$ （ ）
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -1
已知 $\frac{\bar{Z}}{1+\mathrm{i}}=2+\mathrm{i}$, 则复数 $z=$ （ ）
$\text{A.}$ $-1+3 i$
$\text{B.}$ $1-3 i$
$\text{C.}$ $3+\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $3^{-} \mathrm{i}$
已知复数 $\mathrm{z}=\frac{\sqrt{3}+i}{(1-\sqrt{3} i)^{2}}, \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数, 则 $z=\bar{z}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
复数 $\frac{2+i}{1-2 i}$ 的共轭复数是 ( )
$\text{A.}$ $-\frac{3}{5} i$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5} i$
$\text{C.}$ $-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\mathrm{i}$
下面是关于复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的四个命题: 其中的真命题为 （ ）
$p_{1}:|z|=2$,
$\mathrm{p}_{2}: \mathrm{z}^{2}=2 \mathrm{i}$,
$p_{3}$ : $z$ 的共轭复数为 $1+\mathrm{i}$,
$\mathrm{p}_{4}$ : $\mathrm{z}$ 的虚部为 $-1 .$
$\text{A.}$ $\mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$
$\text{B.}$ $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}$
$\text{C.}$ $\mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{4}$
$\text{D.}$ $\mathrm{p}_{3}, \mathrm{p}_{4}$
若复数 $z$ 满足 (3- $4 i) z=|4+3 i|$, 则 $z$ 的虚部为（ ）
$\text{A.}$ $-4$
$\text{B.}$ $-\frac{4}{5}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
$\frac{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}=(\quad)$
$\text{A.}$ $1+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $1-\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-1+\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-1-\mathrm{i}$
设复数 $\mathrm{z}$ 满足 $\frac{1+\mathrm{z}}{1-\mathrm{z}}=\mathrm{i}$, 则 $|\mathrm{z}|=(\mathrm{O})$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $2$
设 $(1+i) x=1+y i$, 其中 $x, y$ 是实数, 则 $|x+y i|= $
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 2
设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$, 则 $|z|= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
. 若 $\mathrm{z}=1+i$, 则 $\left|\mathrm{z}^{2}-2 z\right|=()$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 2
若 $z=-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$, 则 $\frac{z}{z \bar{z}-1}=(\quad)$
$\text{A.}$ $-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-1-\sqrt{3} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}$
若 $z=1+i$, 则 $|i z+3 \bar{z}|=$
$\text{A.}$ $4 \sqrt{5}$
$\text{B.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
若 $i(1-z)=1$, 则 $z+\bar{z}=$
$\text{A.}$ $-2$
$\text{B.}$ $-1$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $m \in \mathbf{R}$, 若复数 $z_{1}=-2+\mathrm{i}$ 的虚部与复数 $z_{2}=m+m \mathrm{i}$ 的虚部相等, 则 $z_{1} \cdot z_{2}=($ )
$\text{A.}$ $-3+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-1-\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $3-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-3-\mathrm{i}$
若复数 $z$ 满足 $(1+\mathrm{i}) z=|1+\mathrm{i}|$, 则 $z$ 的虚部为（）
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2} i$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $-\sqrt{2}$
若虚数 $z$ 满足 $2 \mathrm{i} \bar{z}=z^{2}$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 0 或 2
已知 $z=1-2 i$, 则 $z(\bar{z}-i)$ 的模长为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\sqrt{10}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 10
已知复数 $z=\frac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$, 则 $|\bar{z}+3 \mathrm{i}|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\sqrt{6}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
若 $z(1+2 \mathrm{i})=2-\mathrm{i}$ (i 为虚数单位), 则复数 $z=$
$\text{A.}$ $-i$
$\text{B.}$ $i$
$\text{C.}$ $1$
$\text{D.}$ $-1$
复数 $\frac{-2 i}{1+i}=$
$\text{A.}$ $-1-i$
$\text{B.}$ $-1+i$
$\text{C.}$ $1+i$
$\text{D.}$ $1-i$
复数 $\frac{1}{1+2 \mathrm{i}}$ 的虚部是
$\text{A.}$ $-\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{5}$
设复数 $z=\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$, 则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 复数 $z$ 满足 $z(1+\mathrm{i})=4-3 \mathrm{i}$, 则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知复数 $z=2-2 i, \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数, 则 $z \cdot \bar{z}= $
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $8$
$\text{C.}$ $4+4 i$
$\text{D.}$ $4-4 i$
已知复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$, 则 $\bar{z}+\frac{1}{z^2}=$
$\text{A.}$ $-\sqrt{3} i$
$\text{B.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $1+\sqrt{3} i$
$\text{D.}$ $1-\sqrt{3} \mathrm{i}$
已知复数 $z$ 满足 $(1+\mathrm{i}) z=2-\mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知 $z+\bar{z}=4, \mathrm{i}(z-\bar{z})=-2$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $2+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-2+\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $2-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-2-\mathrm{i}$
已知 $z=\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则 $\bar{z}+|z|=$
$\text{A.}$ $1+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $1-i$
$\text{C.}$ $2 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $2$
复数 $z$ 满足 $|z-5|=|z-1|=|z+i|$, 则 $|z|= $
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ $\sqrt{13}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $5$
复数 $z$ 满足 $1+z \mathrm{i}+z \mathrm{i}^2=|1-\sqrt{3} \mathrm{i}|$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $1+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$
复数 $z=\frac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$ 在复平面内对应的点的坐标为
$\text{A.}$ $(1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,-2)$
$\text{C.}$ $(2,1)$
$\text{D.}$ $(-2,-1)$
若复数 $z$ 满足 $\mathrm{i} \cdot z=1+4 \sqrt{3} \mathrm{i}$, 则 $|z|=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 25
满足 $(1+\mathrm{i}) z=3+\mathrm{i}(\mathrm{i}$ 为虚数单位 $)$ 的复数 $z=$
$\text{A.}$ $2-\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $2+\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $1+2 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $1-2 \mathrm{i}$
数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, \cdots \cdots$, 其中第一项为 $2^0$, 接下来两项是 $2^0, 2^1$, 再接下来三项是 $2^0, 2^1, 2^2$, 依次类推。若整数 $N$ 满足 $N>100$ 且数列的前 $N$ 项和为 2 的整数募, 则 $\mathrm{N}$ 的最小值为
$\text{A.}$ 440
$\text{B.}$ 330
$\text{C.}$ 220
$\text{D.}$ 110
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_n+a_n=1$, 记 $b_m$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 中能使 $a_n \geqslant \frac{1}{2 m+1}\left(m \in \mathbf{N}^*\right)$ 成立的最小项, 则数列 $\left\{b_m\right\}$ 的前 2023 项和为
$\text{A.}$ $2023 \times 2024$
$\text{B.}$ $2^{2024}-1$
$\text{C.}$ $6-\frac{3}{2^7}$
$\text{D.}$ $\frac{11}{2}-\frac{3}{2^8}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2 a_n=a_{n-1}+a_{n+1}(n \geq 2), a_4-a_2=4$. 若 $S_3=9$, 则 $a_9=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 17
$\text{D.}$ 19