试卷3-数学组卷-自助组卷

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试卷3

数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 设复数

z

满足

| z - i | = 1

，

z

在复平面内对应的点为

(x ， y)

，则（　　）

A.

(x + 1)^{2} + y^{2} = 1

B.

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

C.

x^{2} + (y - 1)^{2} = 1

D.

x^{2} + (y + 1)^{2} = 1

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2. 设

2 (z + \overset{―}{z}) + 3 (z - \overset{―}{z}) = 4 + 6 i

,则

z =

（　　）

A.

1 - 2 i

B.

1 + 2 i

C.

1 + i

D.

1 - i

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3. 已知

a, b \in R, i

是虚数单位. 若

(1 + i) (1 - b i) = a

, 则

\frac{a}{b}

的值为（　　）

A.

3

B.

2

C.

- 2

D.

- 3

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4. 设

a \in R

, 且

(a + i)^{2} i

为正实数, 则

a =

（　　）

A.

2

B.

1

C.

0

D.

-1

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5. 已知

\frac{\bar{Z}}{1 + i} = 2 + i

, 则复数

z =

（　　）

A.

- 1 + 3 i

B.

1 - 3 i

C.

3 + i

D.

3^{-} i

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6. 已知复数

z = \frac{\sqrt{3} + i}{(1 - \sqrt{3} i)^{2}}, \bar{z}

是

z

的共轭复数, 则

z = \bar{z} = ()

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

1

D.

2

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7. 复数

\frac{2 + i}{1 - 2 i}

的共轭复数是 ( )

A.

- \frac{3}{5} i

B.

\frac{3}{5} i

C.

- i

D.

i

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8. 下面是关于复数

z = \frac{2}{- 1 + i}

的四个命题: 其中的真命题为（　　）

p_{1} : | z | = 2

,

p_{2} : z^{2} = 2 i

,

p_{3}

:

z

的共轭复数为

1 + i

,

p_{4}

:

z

的虚部为

- 1 .

A.

p_{2}, p_{3}

B.

p_{1}, p_{2}

C.

p_{2}, p_{4}

D.

p_{3}, p_{4}

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9. 若复数

z

满足 (3-

4 i) z = | 4 + 3 i |

, 则

z

的虚部为（）

A.

- 4

B.

- \frac{4}{5}

C.

4

D.

\frac{4}{5}

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10.

\frac{(1 + i)^{3}}{(1 - i)^{2}} = ()

A.

1 + i

B.

1 - i

C.

- 1 + i

D.

- 1 - i

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11. 设复数

z

满足

\frac{1 + z}{1 - z} = i

, 则

| z | = (O)

A.

1

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

2

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12. 设

(1 + i) x = 1 + y i

, 其中

x, y

是实数, 则

| x + y i | =

A.

1

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

2

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13. 设

z = \frac{1 - i}{1 + i} + 2 i

, 则

| z | =

A.

0

B.

\frac{1}{2}

C.

1

D.

\sqrt{2}

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14. . 若

z = 1 + i

, 则

| z^{2} - 2 z | = ()

A.

0

B.

1

C.

\sqrt{2}

D.

2

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15. 若

z = - 1 + \sqrt{3} i

, 则

\frac{z}{z \bar{z} - 1} = ()

A.

- 1 + \sqrt{3} i

B.

- 1 - \sqrt{3} i

C.

- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} i

D.

- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} i

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16. 若

z = 1 + i

, 则

| i z + 3 \bar{z} | =

A.

4 \sqrt{5}

B.

4 \sqrt{2}

C.

2 \sqrt{5}

D.

2 \sqrt{2}

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17. 若

i (1 - z) = 1

, 则

z + \bar{z} =

A.

- 2

B.

- 1

C.

1

D.

2

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18. 设

m \in R

, 若复数

z_{1} = - 2 + i

的虚部与复数

z_{2} = m + m i

的虚部相等, 则

z_{1} \cdot z_{2} = (

)

A.

- 3 + i

B.

- 1 - i

C.

3 - i

D.

- 3 - i

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19. 若复数

z

满足

(1 + i) z = | 1 + i |

, 则

z

的虚部为（）

A.

- \frac{\sqrt{2}}{2} i

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\sqrt{2}

D.

- \sqrt{2}

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20. 若虚数

z

满足

2 i \bar{z} = z^{2}

, 则

| z | =

A.

\sqrt{2}

B.

2

C.

4

D.

0 或 2

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21. 已知

z = 1 - 2 i

, 则

z (\bar{z} - i)

的模长为

A.

4

B.

\sqrt{10}

C.

2

D.

10

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22. 已知复数

z = \frac{3 + i}{1 - i}

, 则

| \bar{z} + 3 i | =

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

\sqrt{6}

D.

\sqrt{5}

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23. 若

z (1 + 2 i) = 2 - i

(i 为虚数单位), 则复数

z =

A.

- i

B.

i

C.

1

D.

- 1

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24. 复数

\frac{- 2 i}{1 + i} =

A.

- 1 - i

B.

- 1 + i

C.

1 + i

D.

1 - i

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25. 复数

\frac{1}{1 + 2 i}

的虚部是

A.

- \frac{2}{5}

B.

- \frac{1}{5}

C.

\frac{1}{5}

D.

\frac{2}{5}

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26. 设复数

z = \frac{i}{1 + i}

, 则复数

z

的共轭复数

\bar{z}

在复平面内对应的点位于

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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27. 已知

i

为虚数单位, 复数

z

满足

z (1 + i) = 4 - 3 i

, 则复数

z

在复平面内对应的点位于（）

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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28. 已知复数

z = 2 - 2 i, \bar{z}

是

z

的共轭复数, 则

z \cdot \bar{z} =

A.

2 \sqrt{2}

B.

8

C.

4 + 4 i

D.

4 - 4 i

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29. 已知复数

z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

, 则

\bar{z} + \frac{1}{z^{2}} =

A.

- \sqrt{3} i

B.

- \sqrt{3}

C.

1 + \sqrt{3} i

D.

1 - \sqrt{3} i

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30. 已知复数

z

满足

(1 + i) z = 2 - i

, 其中

i

为虚数单位, 则在复平面内

\bar{z}

对应的点位于

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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31. 已知

z + \bar{z} = 4, i (z - \bar{z}) = - 2

, 则

z =

A.

2 + i

B.

- 2 + i

C.

2 - i

D.

- 2 - i

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32. 已知

z = \frac{1 - i}{1 + i}

, 其中

i

为虚数单位, 则

\bar{z} + | z | =

A.

1 + i

B.

1 - i

C.

2 i

D.

2

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33. 复数

z

满足

| z - 5 | = | z - 1 | = | z + i |

, 则

| z | =

A.

\sqrt{10}

B.

\sqrt{13}

C.

3 \sqrt{2}

D.

5

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34. 复数

z

满足

1 + z i + z i^{2} = | 1 - \sqrt{3} i |

, 则

z =

A.

1 + i

B.

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

C.

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

D.

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

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35. 复数

z = \frac{2 - i}{i}

在复平面内对应的点的坐标为

A.

(1, 2)

B.

(- 1, - 2)

C.

(2, 1)

D.

(- 2, - 1)

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36. 若复数

z

满足

i \cdot z = 1 + 4 \sqrt{3} i

, 则

| z | = ()

A.

1

B.

5

C.

7

D.

25

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37. 满足

(1 + i) z = 3 + i (i

为虚数单位

)

的复数

z =

A.

2 - i

B.

2 + i

C.

1 + 2 i

D.

1 - 2 i

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38. 数列

1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, \dots \dots

, 其中第一项为

2^{0}

, 接下来两项是

2^{0}, 2^{1}

, 再接下来三项是

2^{0}, 2^{1}, 2^{2}

, 依次类推。若整数

N

满足

N > 100

且数列的前

N

项和为 2 的整数募, 则

N

的最小值为

A.

440

B.

330

C.

220

D.

110

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39. 设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

S_{n} + a_{n} = 1

, 记

b_{m}

为数列

{a_{n}}

中能使

a_{n} ⩾ \frac{1}{2 m + 1} (m \in N^{*})

成立的最小项, 则数列

{b_{m}}

的前 2023 项和为

A.

2023 \times 2024

B.

2^{2024} - 1

C.

6 - \frac{3}{2^{7}}

D.

\frac{11}{2} - \frac{3}{2^{8}}

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40. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且数列

{a_{n}}

满足

2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1} (n \geq 2), a_{4} - a_{2} = 4

. 若

S_{3} = 9

, 则

a_{9} =

A.

9

B.

10

C.

17

D.

19

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