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数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

（

\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618

称为黄金分割比例)，
著名的“断臂维纳斯”便是如此．
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉
至肚脐的长度之比也是

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

,
若某人满足上述两个黄金分割比例，
且腿长为 105 cm，头顶至脖子
下端的长度为 26 cm，则其身高可能是（　　）

A.

165 c m

B.

175 c m

C.

185 c m

D.

190 c m

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2. 关于函数

f (x) = \sin | x | + | \sin x |

有下述四个结论
1.

f (x)

是偶函数
2.

f (x)

在区间

(\frac{π}{2}, π)

单调递增
3.

f (x)

在

[- π, π]

有4个零点。
4.

(f (x)

的最大值为2
其中所有正确的结论编号是

A.

(1) (2) (4)

B.

((2) (4)

C.

(1) (4)

D.

(1) (3)

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3. 设函数

f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}

, 则下列函数中为奇函数的是（　　）

A.

f (x - 1) - 1

B.

f (x - 1) + 1

C.

f (x + 1) - 1

D.

f (x + 1) + 1

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4. 函数

f (x)

的定义域为

R

, 若

f (x + 1)

与

f (x - 1)

都是奇函数, 则 ( )

A.

f (x)

是偶函数

B.

f (x)

是奇函数

C.

f (x) = f (x + 2)

D.

f (x + 3)

是奇函数

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5. 已知命题

p_{1}

：函数

y = 2^{x} - 2^{- x}

在

R

为增函数,

p_{2}

: 函数

y = 2^{x} + 2^{- x}

在

R

为减函数, 则在命题

q_{1} : p_{1} \lor p_{2}, q_{2} : p_{1} \land p_{2}, q_{3} : (\neg p_{1}) \lor p_{2}

和

q_{4} : p_{1} \land (\neg

p_{2}

）中, 真命题是（）

A.

q_{1}, q_{3}

B.

q_{2}, q_{3}

C.

q_{1}, q_{4}

D.

q_{2}, q_{4}

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(x + \frac{a}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}

的展开式中各项系数的和为 2 , 则该展开式中常数项为 ( )

A.

- 40

B.

- 20

C.

D.

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7. 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各条棱中, 最长的棱的长度为（）

A.

6 \sqrt{2}

B.

C.

4 \sqrt{2}

D.

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8. 函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

单调递减, 且为奇函数. 若

f (1) = - 1

, 则满足

- 1 ⩽ f (x - 2) ⩽ 1

的

x

的取值范围是（）

A.

[- 2, 2]

B.

[- 1, 1]

C.

[0, 4]

D.

[1, 3]

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(x + \frac{y^{2}}{x}) (x + y)^{5}

的展开式中

x^{3} y^{3}

的系数为

A.

B.

C.

D.

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10. 函数

y = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x

在区间

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

的图像大致为

A.

B.

C.

D.

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11. 函数

y = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x

在区间

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

的图像大致为

A.

B.

C.

D.

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12. 已知

9^{m} = 10, a = 10^{m} - 11, b = 8^{m} - 9

, 则 ( )

A.

a > 0 > b

B.

a > b > 0

C.

b > a > 0

D.

b > 0 > a

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13. 已知函数

f (x)

在

R

上是单调函数, 且满足对任意

x \in R

, 都有

f [f (x) - 2^{x}] = 3

, 则

f (3)

的值是

A.

B.

C.

D.

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14. 已知函数

f (x) = a \ln x - b x^{2}

的图象在

x = 1

处与直线

y = - \frac{1}{2}

相切, 则函数

f (x)

在

[1, e]

上的最大值为

A.

- 1

B.

C.

- \frac{1}{2}

D.

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15. 若幕函数

f (x)

的图象过点

(4, 2)

, 则

f (2)

的值为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\sqrt{2}

D.

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16. 函数

y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}

的图象大致为（）

A.

B.

C.

D.

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17. 已知函数

f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})

. 给出下列结论:
(1)

f (x)

的最小正周期为

2 π

;
(2)

f (\frac{π}{2})

是

f (x)

的最大值;
(3)把函数

y = \sin x

的图象上所有点向左平移

\frac{π}{3}

个单位长度, 可得到函数

y = f (x)

的图象.
其中所有正确结论的序号是

A.

(1)

B.

(1)(3)

C.

(2)(3)

D.

(1)(2)(3)

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18. 已知函数

f (x) = x^{2}

的导数为

f^{'} (x)

, 则

f^{'} (1) + f^{'} (- 1)

等于 ()

A.

B.

C.

D.

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19. 在同一直角坐标系中, 函数

y = \frac{1}{a^{x}}, y = \log_{a} (x + \frac{1}{2}), (a > 0

且

a \neq 0)

的图像可能是

A.

B.

C.

D.

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20. 已知

a, b \in R

, 函数

f (x) = {\begin{cases} x, x < 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + a x, x \geq 0 \end{cases}

若函数

y = f (x) - a x - b

恰有三个零点, 则

A.

a < - 1, b < 0

B.

a < - 1, b > 0

C.

a > - 1, b > 0

D.

a > - 1, b < 0

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21. 若

a = \lg 0.3, b = \log_{3} 2, c = \log_{5} 4

, 则（）

A.

c > b > a

B.

b > c > a

C.

c > a > b

D.

a > b > c

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22. 已知

f (x - 1)

是定义为

R

上的奇函数,

f (1) = 0

, 且

f (x)

在

[- 1, 0)

上单调递增, 在

[0, + \infty)

上单调递减, 则不等式

f (2^{x} - 3) < 0

的解集为（）

A.

(1, 2)

B.

(- \infty, 1)

C.

(2, + \infty)

D.

(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)

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23. 已知函数

f (x) = x - \frac{1}{x} - 2 \ln x

, 当

x > 1

时,

f (x^{2}) > 8 λ f (x)

恒成立, 则实数

λ

的取值范围为（ )

A.

(- \infty, - 2]

B.

(- \infty, 2]

C.

(- \infty, - 1]

D.

(- \infty, 1]

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24. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2 x - 1}, g (x) = x^{2} - 2 x

, 则

A.

f (x + 1)

为奇函数,

g (x - 1)

为偶函数

B.

f (x + 1)

为奇函数,

g (x + 1)

为偶函数

C.

f (x + \frac{1}{2})

为奇函数,

g (x - 1)

为偶函数

D.

f (x + \frac{1}{2})

为奇函数,

g (x + 1)

为偶函数

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25. 已知函数

y = f (x + 1)

的图象关于直线

x = - 3

对称, 且对

\forall x \in R

都有

f (x) + f (- x) =

2. 当

x \in (0, 2]

时,

f (x) = x + 2

. 则

f (2022) =

A.

- 1

B.

1

C.

2

D.

- 2

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26. 已知

f (x) = | \lg x | - c

有两个下不同零点

a, b

, 则下列结论成立的是

A.

a^{2} + b^{2}

最小值为 2

B.

a + b

最小值为 2

C.

4 a^{2} + b^{2}

最小值为 4

D.

a^{2} + b^{2} - a b

最小值为 1

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27. 已知函数

f (x)

的定义域为

R

, 且

f (m + n) + f (m - n) = f (m) f (n), f (1) = 1 (m, n \in R)

, 则

\sum_{i = 1}^{20} f (i) =

A.

B.

C.

-2

D.

-3

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28. 函数

f (x) = \frac{x^{2} \ln | x |}{e^{x}}

的部分图象大致为

A.

B.

C.

D.

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29. 已知定义域为

(0, + \infty)

的函数

f (x)

的导函数为

f^{'} (x)

, 且函数

g (x) = (\log_{3} x - 1) \cdot f^{'} (x)

的部分图象如图所示, 则下列说法中正确的是

A.

f (x)

有极小值

f (6)

, 极大值

f (1)

B.

f (x)

有极小值

f (6)

, 极大值

f (10)

C.

f (x)

有极小值

f (1)

, 极大值

f (3)

和

f (10)

D.

f (x)

有极小值

f (1)

, 极大值

f (10)

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30. 若函数

f (x) = (x^{2} - a x - 2) e^{x + 1}

有两个极值点且这两个极值点互为相反数, 则

f (x)

的极小值为

A.

- 6 e^{3}

B.

- 2 e^{3}

C.

- 4 e

D.

- \frac{2}{e}

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31. 已知

f (x) = x^{3} + b x^{2} + x + d, b 、 d \in R

, 下列说法正确的是

A.

存在

b, d

使得

f (x)

是奇函数

B.

任意

b 、 d, f (x)

的图像是中心对称图形

C.

若

x_{1}, x_{2}

为

f (x)

的两个极值点, 则

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 1

D.

若

f (x)

在

R

上单调, 则

- \sqrt{3} \leq b \leq \sqrt{3}

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32. 已知函数

f (x)

及其导函数

f^{'} (x)

的定义域均为

R

, 若

f^{'} (x) - f (x) = \frac{x - \sin x}{e^{x}}, f (0) = 1

, 则下列结论正确的是

A.

f (1) > e

B.

f^{'} (\frac{π}{2}) < f (\frac{π}{2})

C.

方程

f^{'} (x) = f (x) + \frac{1}{2 e^{2}}

有两个解

D.

f (x)

在

(0, \frac{π}{2})

上单调递增

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33. 已知函数

f (x) = a x^{3} + b x + 2 (a \neq 0)

满足

f (- 3) = 5

, 则

f (3)

等于

A.

2

B.

- 5

C.

- 1

D.

- 3

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34. 函数

y = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x

在区间

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

的大致图象为（　　）

A.

B.

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35. 函数

f (x) = \frac{\sin 3 x}{1 + \cos x} (- π < x < π)

的大致图象为（　　）

A.

B.

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36. 函数

f (x) = \frac{| x | x^{2} - \ln | x |}{x^{2}}

的大致图象为（　　）

A.

B.

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37. 已知函数

f (x) = x^{2} + \frac{1}{4}

g (x) = \sin x

则图象为下图的函数可能是（　　）

A.

y = f (x) + g (x) - \frac{1}{4}

B.

y = f (x) - g (x) - \frac{1}{4}

C.

y = f (x) g (x)

D.

y = \frac{g (x)}{f (x)}

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38. 已知

a = \log_{3} 4

b = \log_{0.7} 2

c = 5^{- 0.1}

,则

a

b

c

的大小关系为（　　）

A.

a > b > c

B.

a > c > b

C.

c > b > a

D.

c > a > b

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39. 已知

a = 2^{0.2}

b = 1 - 2 \lg 2

c = 2 - \log_{3} 10

,则

a

b

c

的大小关系为（　　）

A.

b > c > a

B.

a > b > c

C.

a > c > b

D.

b > a > c

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40. 已知

a = \log_{3} \frac{1}{2}

b = \log_{2} \frac{1}{3}

c = 3^{- 0.1}

,则

a

b

c

的大小关系为（　　）

A.

c > b > a

B.

c > a > b

C.

a > c > b

D.

a > b > c

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