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数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 若

\tan (α + 2 β) = 3, \tan (α - β) = 2

, 则

\tan (α + 5 β) =

A.

\frac{11}{5}

B.

\frac{11}{2}

C.

\frac{2}{11}

D.

\frac{5}{11}

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2. 一个三角形的两内角分别为

45^{\circ}

和

60^{\circ}

, 如果

45^{\circ}

角所对的边长是 6 , 那么

60^{\circ}

角所对的边长为

A.

3 \sqrt{6}

B.

3 \sqrt{2}

C.

3 \sqrt{3}

D.

2 \sqrt{6}

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3. 在

△ ABC

中, 已知

2 \sin A \cos B = \sin C

, 那么

△ ABC

一定是

A.

直角三角形

B.

等腰三角形

C.

等腰直角三角形

D.

正三角形

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4. 黑洞原指非常奇怪的天体, 它体积小, 密度大, 吸引力强, 任何物体到了它那里都别想再出来, 数字中也有类似的 “黑洞”, 任意取一个数字串, 长度不限, 依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数, 把这三个数从左到右写成一个新数字串; 重复以上工作, 最后会得到一个反复出现的数字, 我们称它为 “数字黑洞”, 如果把这个数字设为

a

, 则

\sin (\frac{a}{2} π + \frac{π}{6}) =

A.

\frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

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5. 在锐角

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c, △ A B C

的面积为

S

, 若

\sin (A + C) = \frac{2 S}{b^{2} - a^{2}}

, 则

\tan A + \frac{1}{3 \tan (B - A)}

的取值范围为

A.

[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)

B.

[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3}]

C.

(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3})

D.

[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3})

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6. 函数

f (x) = \tan (2 x - \frac{π}{3})

的图象的一个对称中心为

A.

(\frac{π}{12}, 0)

B.

(\frac{7 π}{12}, 0)

C.

(- \frac{5 π}{12}, 0)

D.

(- \frac{π}{12}, 0)

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7. 已知函数

f (x) = \cos^{2} \frac{ω x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin ω x - \frac{1}{2} (ω > 0), x \in R

, 若

f (x)

在区间

(π, 2 π)

内没有零点, 则

ω

的取值范围是

A.

(0, \frac{5}{12}]

B.

(0, \frac{5}{12}] \cup [\frac{5}{6}, \frac{11}{12})

C.

(0, \frac{5}{6}]

D.

(0, \frac{5}{12}] \cup [\frac{5}{6}, \frac{11}{12}]

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8. 9. 冬残奥会闭幕式上, 中国式浪漫再现, 天干地支时辰钟表盘再现, 由定音鼓构成的“表盘” 形象上, 60 名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈 60 个时间刻度的行进轨迹.若以图中 12 点与圆心连线为始边, 某时刻指向第

1, 21, 41

名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为

α, β, γ

, 则

\cos α + \cos β + \cos γ

的值为

A.

- 1

B.

0

C.

1

D.

\cos α

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9. 已知函数

f (x) = 2 \sin (ω x + φ)

的部分图象如图, 则下列判断正确的是

A.

函数

f (x)

的周期为

4 π

B.

对任意的

x \in R

, 都有

f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})

C.

函数

f (x)

在区间

[0, 5 π]

上恰好有三个零点

D.

函数

f (x - \frac{π}{4})

是偶函数

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10. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中, 提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式, 可以看出我国古代已具有很高的数学水平. 设

a, b, c

分别为

△ A B C

内角

A, B, C

的对边,

S

表示

△ A B C

的面积,其公式为

S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}

. 若

b = \sqrt{2}, \frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C}

= \frac{c}{2 \sin A}

, 则

△ A B C

面积

S

的最大值为

A.

\sqrt{2}

B.

1

C.

\frac{2}{3}

D.

\frac{\sqrt{2}}{3}

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11. 已知函数

f (x)

的局部图象如图所示, 下列函数

f (x)

的解析式与图象符合的可能是

A.

f (x) = \frac{4}{5} x^{2}

B.

f (x) = x^{4}

C.

f (x) = x \sin x

D.

f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}

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12. 已知

a = \sin 0.1, b = \ln 1.1, c = e^{0.1} - 1

, 则

A.

c < b < a

B.

a < b < c

C.

c < a < b

D.

b < a < c

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13. 在

△ A B C

中,

∠ C A B = 60^{\circ}, A B = 2, A C = 1, D

为边

B C

上一点, 且

C D = 2 B D

, 则

| \vec{A D} | =

A.

\frac{\sqrt{21}}{3}

B.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{7}}{3}

D.

\frac{\sqrt{5}}{3}

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14. 已知函数

f (x) = a \cos 2 x + \sqrt{3} a \sin 2 x - 2 a + b

在

x \in [0, \frac{π}{2}]

上的图象如右图所示, 则

a, b

的值分别为

A.

a = 2, b = 1

B.

a = 2, b = 3

C.

a = - 2, b = - 5

D.

a = - \frac{3}{2}, b = - 2

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15. 若

\tan θ = 2

, 则

\frac{\sin θ \cos 2 θ}{\cos θ - \sin θ} =

A.

\frac{6}{5}

B.

- \frac{6}{5}

C.

\frac{2}{5}

D.

- \frac{2}{5}

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16. 已知函数

f (x)

及其导函数

f^{'} (x)

的定义域均为

R

, 且

f (x)

为偶函数,

f (\frac{π}{6}) = - 2

3 f (x) \cos x + f^{'} (x) \sin x > 0

, 则不等式

f (x + \frac{π}{2}) \cos^{3} x - \frac{1}{4} > 0

的解集为

A.

(- \frac{π}{3}, + \infty)

B.

(- \frac{2 π}{3}, + \infty)

C.

(- \frac{2 π}{3}, \frac{π}{3})

D.

(\frac{π}{3}, + \infty)

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17. 如图是某个函数

y = f (x)

的图象的一部分, 则该函数可能是

A.

y = (x^{3} - x) \cdot \sin x

B.

y = (x^{2} - 1) \cdot \tan x

C.

y = \frac{\tan x}{2^{x} - 2^{- x}}

D.

y = \frac{x^{3} - x}{\cos x}

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18. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 若

\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C} = \frac{3}{b c \cdot \sin A}

, 且

\sin (C - B) = \frac{1}{2} \sin A

, 则

c^{2} - b^{2} = ()

A.

B.

\frac{3}{2}

C.

D.

\frac{5}{2}

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19. 若角

α

的终边经过点

P (\sin 830^{\circ}, \cos 430^{\circ})

, 且

\tan α + \tan 2 α + m \tan α \cdot \tan 2 α = \sqrt{3}

, 则实数

m

的值为

A.

- \sqrt{3}

B.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

\sqrt{3}

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20. 若

f (x) = | \sin x + \sqrt{3} \cos x | + | \sqrt{3} \sin x - \cos x |

, 则下列说法正确的是

A.

f (x)

的最小正周期是

π

B.

f (x)

的对称轴方程为

x = \frac{k π}{4} - \frac{π}{12} (k \in Z)

C.

存在实数

a

, 使得对任意的

x \in R

, 都存在

x_{1} 、 x_{2} \in [- \frac{5 π}{12}, 0]

且

x_{1} \neq x_{2}

, 满足

[f (x)]^{2} -

a f (x) f (x_{k}) + 1 = 0 (k = 1, 2)

D.

若函数

g (x) = 2 f (x) + b, x \in [0, \frac{25 π}{12}]

(

b

是实常数), 有奇数个零点

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n}

x_{2 n + 1} (n \in N)

, 则

x_{1} + 2 (x_{2} + x_{3} + \dots + x_{2 n}) + x_{2 n + 1} = \frac{25 π}{3}

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21. 已知

\tan θ < 0 ， \cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}

, 求

\cos θ

的值为

A.

- \frac{2 \sqrt{5}}{5}

B.

- \frac{\sqrt{5}}{5}

C.

D.

\frac{\sqrt{5}}{5}

E.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

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22. 函数

f (x) = a - \sqrt{3} \tan 2 x

在闭区间

[- \frac{π}{6}, b]

上的最大值为7,最小值为 3 , 则

a \times b

的值为

A.

\frac{π}{2}

B.

\frac{5 π}{12}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{π}{4}

E.

\frac{π}{6}

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23. 已知

a

为第三象限角, 且

\cos 2 a = \frac{1}{3}

, 则

\cos a =

A.

- \frac{\sqrt{6}}{3}

B.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{6}}{3}

D.

\frac{\sqrt{3}}{3}

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24. 已知

△ ABC

的角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

a : b : c = 2

3 : 4

, 则

△ A B C

的面积为

A.

\frac{\sqrt{15}}{12} a^{2}

B.

\frac{\sqrt{15}}{12} b^{2}

C.

\frac{a^{2}}{12}

D.

\frac{b^{2}}{12}

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25. 对任意实数

x

, 定义

[x]

为不大于

x

的最大整数, 如

[0, 2] = 0, [\begin{array}{ll} 1 & 5 \end{array}]

= 1, [2] = 2

. 已知函数

f (x) = [x] \cdot \sin π x

, 则方程|

f (x) ∣= 3

- \frac{x}{50}

在

(0, + \infty)

上的实根个数为

A.

290

B.

292

C.

294

D.

296

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26. 已知

\sin (α - β) = \frac{3}{5}, \sin β = \frac{1}{3}, β

与

α - β

均为钝角, 则

\sin α =

A.

\frac{8 \sqrt{2} + 3}{15}

B.

\frac{6 \sqrt{2} + 4}{15}

C.

\frac{8 \sqrt{2} - 3}{15}

D.

- \frac{6 \sqrt{2} + 4}{15}

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27. 函数

f (x) = | \tan (2 x - \frac{2 π}{3}) |

图象的对称轴方程为

A.

x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} (k \in Z)

B.

x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{4} (k \in Z)

C.

x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} (k \in Z)

D.

x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{4} (k \in Z)

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28. 设

a = \sin 7

, 则

A.

a^{2} < 2^{a} < \log_{2} | a |

B.

\log_{2} | a | < 2^{a} < a^{2}

C.

a^{2} < \log_{2} | a | < 2^{a}

D.

\log_{2} | a | < a^{2} < 2^{a}

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29. 将函数

f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)

的图象上所有点向右平移

\frac{π}{6}

个单位长度, 得到如图所示的函数

y = g (x)

的图象, 则

f (0) + f (\frac{π}{3}) =

A.

B.

C.

D.

-1

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30. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})

在

(0, \frac{π}{3})

上恰好取到一次最大值与一次最小值, 则

ω

的取值范围是

A.

(4, 7]

B.

[4.7)

C.

(7.10]

D.

[7, 10)

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31. .已知

\sin (α + \frac{π}{6}) - \cos α = \frac{1}{2}

, 则

\sin (2 α + \frac{π}{6}) =

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{2}

C.

- \frac{3}{4}

D.

\frac{3}{4}

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32. 已知函数

f (x)

及其导函数

f^{'} (x)

的定义域均为

R

, 记

g (x) = f (1 + x) - x

, 若

f^{'} (x)

为奇函数,

g (x)

为偶函数, 则

f^{'} (2023) =

A.

2021

B.

2022

C.

2023

D.

2024

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33. 将函数

f (x) = \sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})

的图像向左平移

\frac{π}{4}

个单位得到函数

g (x)

的图像, 若

g (x)

的图像与

f (x)

的图像关于

y

轴对称, 则下列说法正确的有

A.

φ = \frac{π}{4}

B.

φ = - \frac{π}{1}

C.

g (x)

的对称轴过

f (x)

的对称中心

D.

\forall m \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{8}], \exists n \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{8}]

,使得

f (m) = g (n)

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34. 已知

\frac{- \cos α + 2 \sin α}{\cos α - \sin α} = - 3

, 则

\sin 2 a =

A.

\frac{4}{5}

B.

- \frac{4}{5}

C.

1

D.

\frac{3}{5}

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35. 函数

f (x) = (\frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}) \sin x

在

[- \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2}]

上的图象的大致形状是

A.

B.

C.

D.

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36. 某建筑物如图所示, 底部为

A

, 顶部为

B

, 点

C, D

与点

A

在同一水平线上, 且

| C D | = l

, 用高为

h

的测角工具在

C, D

位置测得建筑物顶部

B

在

C_{1}

和

D_{1}

处的仰角分别为

α, β

. 其中

C_{1}, D_{1}

和

A_{1}

在同一条水平线上,

A_{1}

在

A B

上, 则该建筑物的高

A B = ()

A.

\frac{l \sin α \cos β}{\sin (β - α)} + h

B.

\frac{l \cos α \cos β}{\sin (β - α)} + h

C.

\frac{l \cos α \sin β}{\sin (β - α)} + h

D.

\frac{l \sin α \sin β}{\sin (β - α)} + h

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37. 对于函数

f (x) = {\begin{cases} \sin x, \sin x \geq \cos x \\ \cos x, \sin x < \cos x \end{cases}

, 给出下列四个命题:
(1) 该函数的值域是

[- 1, 1]

;
(2) 当且仅当

x = 2 k π + \frac{π}{2} (k \in Z)

时, 该函数取得最大值 1 ;
(3)该函数的最小正周期为

2 π

;
(4) 当且仅当

2 k π + π < x < 2 k π + \frac{3 π}{2} (k \in Z)

时,

f (x) < 0

; 其中所有正确命题个数有

A.

B.

C.

D.

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38. 日光射人海水后, 一部分被海水吸收 (变为热能), 同时, 另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射. 因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱, 可用

I_{D} = I_{0} e^{- K D}

表示其总衰减规律, 其中

K

是平均消光系数 (也称衰减系数),

D

(单位: 米) 是海水深度,

I_{D}

(单位:坎德拉) 和

I_{0}

(单位: 坎德拉) 分别表示在深度

D

处和海面的光强. 已知某海区 10 米深处的光强是海面光强的

30 %

, 则该海区消光系数

K

的值约为 (参考数据:

\ln 2 \approx 0.7

\ln 3 \approx 1.1, \ln 5 \approx 1.6

)

A.

0.12

B.

0.11

C.

0.07

D.

0.01

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39. 在

△ A B C

中,

A B = 2, B C = 2 \sqrt{3}, ∠ B A C = 120^{\circ}, P

为平面

A B C

内一点, 则

(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot (\vec{P A} + \vec{P C})

的最小值是

A.

- 1

B.

- 2

C.

- 3

D.

- 4

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40. 已知函数

f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω \in N^{*}, 0 < φ < \frac{π}{2})

的部分图象如图所示, 且函数

f (x)

在

x = \frac{7 π}{12}

处取得最小值, 则函数

f (\frac{x}{2})

在

[0, π]

上的单调递减区间为

A.

[0, \frac{π}{6}]

B.

[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]

C.

[0, \frac{π}{12}]

D.

[\frac{π}{6}, π]

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