一、单选题 （共 40 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 上单调递增, 且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f(\pi)$, 则 $\omega=$
$\text{A.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知 $\theta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$, 且 $\cos \theta-\sin \theta=-\frac{\sqrt{7}}{2}$, 则 $2 \sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
已知 $\sin \theta+2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}=\frac{5}{4}$, 则 $\sin 2 \theta=$
$\text{A.}$ $-\frac{15}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{15}{16}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 图象上相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$, 将函数 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位后, 得到的图象关于 $y$ 轴对称, 则函数 $f(x)$ 的一 个零点是
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{12}$
已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{5}$, 则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{6}\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{24}{25}$
$\text{B.}$ $-\frac{24}{25}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{25}$
$\text{D.}$ $-\frac{7}{25}$
已知点 $P(-3,4)$ 是角 $\alpha$ 终边上一点, 则 $\frac{\sin 2 \alpha+2 \sin ^2 \alpha}{1+\tan \alpha}$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{24}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{24}{25}$
$\text{C.}$ $-\frac{18}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{18}{25}$
在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\frac{b \cdot \cos C}{c \cdot \cos B}=\frac{1-\cos 2 B}{1-\cos 2 C}$, 则 $\triangle A B C$ 的形状为
$\text{A.}$ 等腰三角形
$\text{B.}$ 直角三角形
$\text{C.}$ 等腰直角三角形
$\text{D.}$ 等腰三角形或直角三角形
在 $\triangle A B C$ 中, $B=\frac{\pi}{3}, B C$ 边上的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{6} B C$, 则 $\cos A$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{7}}{28}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{7}}{14}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{14}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{7}}{7}$
若 $\cos \alpha-\sin \alpha=-\frac{1}{2}$, 则 $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\tan ^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=$
$\text{A.}$ $-\frac{21}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{21}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{21}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{21}{8}$
已知函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)\left(0 < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 的一条对称轴为直线 $x=\frac{\pi}{12}$, 则要得到函数 $F(x)=f^{\prime}(x)-f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$ 的图象, 只需把函数 $f(x)$ 的图象
$\text{A.}$ 沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位, 纵坐标伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍
$\text{B.}$ 沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位, 纵坐标伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍
$\text{C.}$ 沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位, 纵坐标伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍
$\text{D.}$ 沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位, 纵坐标伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍
已知 $\cos 2 x=-\frac{1}{3}$, 则 $\cos ^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos ^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{9}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{13}{20}$
$\text{D.}$ $\frac{17}{24}$
已知 $\cos 2 x=-\frac{1}{3}$, 则 $\cos ^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos ^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{9}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{13}{20}$
$\text{D.}$ $\frac{17}{24}$
将函数 $f(x)=\sin (2 x+\phi)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位后, 得到一个偶函数的图象, 则 $\phi$ 的一个可能取值 为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi}{8}$
$\text{C.}$ $-\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
已知 $\alpha$ 为锐角， $\cos \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ ，则 $\sin \frac{\alpha}{2}=$
$\text{A.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{-1+\sqrt{5}}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$
已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}, \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{6}$, 则 $\cos (2 \alpha+2 \beta)=$
$\text{A.}$ $\frac{7}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{9}$
$\text{D.}$ $-\frac{7}{9}$
已知 $f(x)$ 为函数 $y=\cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位所得函数，则 $y=f(x)$ 与 $y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{2}$ ，交点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增, 直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的 两条对称轴, 则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
已知 $x, y>0$, 满足 $x+\sqrt{2} y=x y$, 则
$\text{A.}$ $x+y+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为 $2\left(\sqrt{2}+1-6^{\frac{1}{4}}\right)$
$\text{B.}$ $x+y-\sqrt{x^2+y^2}$ 的最大值为 $2\left(\sqrt{2}+1-7^{\frac{1}{4}}\right)$
$\text{C.}$ $x+y-\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为 $2\left(\sqrt{2}+1+6^{\frac{1}{4}}\right)$
$\text{D.}$ $x+y+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最大值为 $2\left(\sqrt{2}+1-7^{\frac{1}{4}}\right)$
若 $\tan \alpha=2$, 则 $\dfrac{2 \sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+2 \cos \alpha}$ 的值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\dfrac{3}{4}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\dfrac{5}{4}$
已知 $\sin \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}$, 则 $\cos \left(2 \alpha-\frac{4 \pi}{3}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{5}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{9}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知点 $P(4,3)$ 是角 $\alpha$ 的终边上一点. 则 $\tan \frac{a}{2}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\pm \frac{1}{3}$
$\text{C.}$ 3 或 $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 3
已知 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{3}{5}, \sin \left(\frac{5 \pi}{4}+\beta\right)=-\frac{12}{13}, \alpha \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$, 则 $\sin (\alpha+\beta)$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{56}{65}$
$\text{B.}$ $\frac{33}{65}$
$\text{C.}$ $-\frac{16}{65}$
$\text{D.}$ $-\frac{63}{65}$
已知 $\triangle A B C$ 中, $A C=2, \sin A=\tan B, A \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$, 则边 $A B$ 的最小值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $2+\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{2}$
计算下列各式, 结果为 $\sqrt{3}$ 的是
$\text{A.}$ $\sqrt{2} \sin 15^{\circ}+\sqrt{2} \cos 15^{\circ}$
$\text{B.}$ $\cos ^2 15^{\circ}-\sin 15^{\circ} \cos 75^{\circ}$
$\text{C.}$ $\frac{\tan 15^{\circ}}{1-\tan ^2 15^{\circ}}$
$\text{D.}$ $\frac{1+\tan 15^{\circ}}{1-\tan 15^{\circ}}$
要得到函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象, 可以将函数 $g(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{12}\right)$ 的图象
$\text{A.}$ 向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个単位
$\text{B.}$ 向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位
$\text{C.}$ 向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个単位
$\text{D.}$ 向右平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位
已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，点$A(x_1,2)$,$B(x_2,4)$在$\alpha$的终边上，且$x_1-x_2=1$,则$\tan\alpha=$（ ）
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\dfrac{1}{2}$
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ $-\dfrac{1}{2}$
如图，角$\alpha$的始边与$x$轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点$A(x_1,y_1)$,角$\beta=\alpha+\dfrac{2\pi}{3}$的始边与角$\alpha$的始边重合，且终边与单位圆交于点$B(x_2,y_2)$,记$f(\alpha)=y_1-y_2$,若$\alpha$为锐角,则$f(\alpha)$的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2}\right)$
已知角$\alpha$的始边与$x$轴非负半轴重合,终边上一点$P(\sin3,\cos3)$,若$0\le\alpha\le2\pi$,则$\alpha=$（ ）
$\text{A.}$ $3$
$\text{B.}$ $\dfrac{\pi}{2}-3$
$\text{C.}$ $\dfrac{5\pi}{2}-3$
$\text{D.}$ $3-\dfrac{\pi}{2}$
已知$\sin^2(\pi-\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\theta\right)$,且$0 < |\theta| < \dfrac{\pi}{2}$,则$\theta$等于（ ）.
$\text{A.}$ $-\dfrac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $-\dfrac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\dfrac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $\dfrac{\pi}{3}$
已知角$\alpha$的终边与单位圆的交点为$P\left(-\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)$,则$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)$=（ ）.
$\text{A.}$ $\dfrac{4}{5}$
$\text{B.}$ $-\dfrac{4}{5}$
$\text{C.}$ $-\dfrac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\dfrac{3}{5}$
如图，在平面直角坐标系内，角$\alpha$的始边与$x$轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点$P_1\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)$，若线段$OP_{n-1}$绕点$O$逆时针旋转得到$OP_n(n\ge2,n\in\mathbf{N^\ast})$,则点$P_{2023}$的纵坐标为（ ）.
$\text{A.}$ $-\dfrac{4}{5}$
$\text{B.}$ $-\dfrac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\dfrac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\dfrac{4}{5}$
已知$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}+\alpha\right)=\dfrac{1}{3}$,且$-\pi < \alpha < -\dfrac{\pi}{2}$,则$\cos\left(\dfrac{\pi}{12}-\alpha\right)=$（ ）
$\text{A.}$ $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
$\text{B.}$ $\dfrac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\dfrac{1}{3}$
$\text{D.}$ $-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
若$\sin10\degree=a\sin100\degree$,则$\sin20\degree=$（ ）.
$\text{A.}$ $\dfrac{a}{a^2+1}$
$\text{B.}$ $-\dfrac{a}{a^2+1}$
$\text{C.}$ $\dfrac{2a}{a^2+1}$
$\text{D.}$ $-\dfrac{2a}{a^2+1}$
已知$\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$,则$\sin\alpha\sin2\alpha=$（ ）
$\text{A.}$ $\dfrac{1}{27}$
$\text{B.}$ $\dfrac{2}{27}$
$\text{C.}$ $\dfrac{8}{27}$
$\text{D.}$ $\dfrac{16}{27}$
已知$\alpha$为锐角,$\cos\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$,则$\sin\dfrac{\alpha}{2}=$（ ）
$\text{A.}$ $\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}$
$\text{B.}$ $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{8}$
$\text{C.}$ $\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$
$\text{D.}$ $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
$\cos^2\dfrac{\pi}{12}-\cos^2\dfrac{5\pi}{12}=$（ ）
$\text{A.}$ $\dfrac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都有广泛应用，0.618就是黄金分割比$m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值，黄金分割比还可以表示成$2\sin18\degree$,则$\dfrac{2m\sqrt{4-m^2}}{2\cos^227\degree-1}=$（ ）.
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\sqrt{5}+1$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}-1$
已知$a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos1\degree-\sin1\degree)$,$b=\dfrac{1-\tan^222.5\degree}{1+\tan^222.5\degree}$,$c=\sin22\degree\cos24\degree+\cos22\degree\sin24\degree$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为（ ）.
$\text{A.}$ $b>a>c$
$\text{B.}$ $c>b>a$
$\text{C.}$ $c>a>b$
$\text{D.}$ $b>c>a$
已知 $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{3}$, 则 $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-2 x\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{7}{9}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{9}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{9}$
若$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$,$\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$,且$(1+\cos2\alpha)(1+\sin\beta)=\sin2\alpha\cos\beta$,则下列结论正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\alpha+\dfrac{\beta}{2}=\dfrac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $2\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{2}$