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gzsx0

数学

一、单选题（共 30 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = 2 \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + x

的图象在

x = 1

处的切线为

l

, 则

l

在

x

轴上的截距为

A.

- \frac{3}{4}

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{3}{2}

D.

- \frac{3}{2}

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2. 函数

f (x) = \frac{3^{x} \cos 6 x}{3^{2 x} - 1}

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

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3. 定义函数

min {f (x), g (x)} = {\begin{cases} f (x), f (x) ⩽ g (x), \\ g (x), f (x) > g (x), \end{cases},

(x)

min {| x | - 1, x^{2} - 2 a x + a + 2}

, 若

h (x) = 0

至少有 3 个不同的解, 则实数

a

的取值范围是

A.

[1, 2]

B.

[2, 3]

C.

[3, 4]

D.

[4, 5]

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4. 溶液酸碱度是通过

P H

计量的,

P H

的计算公式为

P H = - \lg [H^{+}]

, 其中

[H^{+}]

表示溶液中氢离子的浓度, 单位是摩尔/升. 已知某溶液的

P H

值为 2.921 , 则该溶液中氢离子的浓度约为 ( 取

\lg 2 = 0.301, \lg 3 = 0.477)

A.

1.2 \times 10^{- 3}

摩尔/升

B.

1.2 \times 10^{- 4}

摩尔/升

C.

6 \times 10^{- 3}

摩尔/升

D.

6 \times 10^{- 4}

摩尔/升

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5. 若函数

f (x) = 4 \cos (2 x + φ) - 2 \sqrt{2} (0 \leq φ \leq π)

在

[0, \frac{11 π}{6}]

内恰有 4 个零点, 则

φ

的取值范围是

A.

[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{π}{2}, \frac{7 π}{12}]

B.

[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}] \cup [\frac{π}{2}, \frac{7 π}{12}]

C.

[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{7 π}{12}, π]

D.

[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}] \cup [\frac{7 π}{12}, π]

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6. 恩格尔系数

n = \frac{食品消费支出总额}{消费支出，总额} \times 100 %

, 国际上常用恩格尔系数

n

来衡量一个地
区家庭的富裕程度, 恩格尔系数越低, 人民生活越富裕. 某地区家庭 2022 年底恩格尔系数

n

为

50 %

, 刚达到小康, 预计从 2023 年起该地区家庭每年消费支出总额增加

30 %

, 食品消费支出总额缯加

20 %

, 依据以上数据, 预计该地区家庭恩格尔系数

n

满足

30 % < n \leq 40 %

达到富裕水平, 至少经过 ( ) 年 (参考数据:

\lg 0.6 \approx - 0.22, \lg 0.8 \approx - 0.10, \lg 12 \approx 1.08

\lg 13 \approx 1.11)

A.

8年

B.

7年

C.

4年

D.

3年

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7. 函数

f (x) = x^{\frac{1}{2}} - {(\frac{1}{2})}^{x}

的零点个数是

A.

B.

C.

D.

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8. 已知

a = \log_{2} 9 - \log_{2} \sqrt{3}, b = 1 + \log_{2} \sqrt{7}, c = \frac{1}{2} + \log_{2} \sqrt{13}

, 则

a, b, c

的大小关系为

A.

a > b > c

B.

b > a > c

C.

c > a > b

D.

c > b > a

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9. 函数

f (x) = \frac{e \ln x^{2}}{2 x}

的图象大致是

A.

B.

C.

D.

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10. 已知

a > 0

且

a \neq 1

, 若集合

A = {x ∣ 2 x^{2} < \log_{a} x}, B = {x ∣ y = \ln x + \ln (\frac{1}{2} - x)}

, 且

A ⊊ B

, 则实数

a

的取值范围是

A.

(0, \frac{1}{4}) \cup (1, e^{\frac{1}{4 c}}]

B.

(0, \frac{1}{4}) \cup [e^{\frac{1}{4 e}}, + \infty)

C.

(\frac{1}{4}, 1) \cup (1, e^{\frac{1}{2 e}}]

D.

(\frac{1}{4}, 1) \cup [e^{\frac{1}{2 e}}, + \infty)

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11. 函数

y = (x - 2)^{2} \ln | x |

的图像是

A.

B.

C.

D.

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12. 若函数

y = f (x)

满足

f (2 - x) + f (x) = 2, f (4 - x) + f (x) = 4

, 设

f (x)

的导函数为

f^{'} (x)

, 当

x \in [0, 1]

时,

f (x) = x^{2}

, 则

\sum_{k = 1}^{10} [f (k) + f^{'} (k + \frac{1}{2})] =

A.

B.

C.

D.

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13. 已知函数

f (x)

的图像是连续不断的, 其定义域为

(- 1, 1)

, 满足: 当

x > 0

时,

f (x) > 0

; 任意的

x, y \in (- 1, 1)

, 均有

f (x + y) [1 - f (x) f (y)] = f (x) + f (y)

. 若

f (\ln x) > f (\frac{1}{2})

, 则

x

的取值范围是

A.

(\frac{1}{e}, \sqrt{e})

B.

(\frac{1}{\sqrt{e}}, \sqrt{e})

C.

(\frac{1}{e}, \frac{1}{\sqrt{e}}) \cup (\sqrt{e}, e)

D.

(\sqrt{e}, e)

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14. 已知直线

y = k x + t

与函数

y = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)

的图象恰有两个切点, 设满足条件的

k

所有可能取值中最大的两个值分别为

k_{1}

和

k_{2}

, 且

k_{1} > k_{2}

, 则

A.

\frac{k_{1}}{k_{2}} > \frac{7}{3}

B.

\frac{5}{3} < \frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{7}{3}

C.

\frac{7}{5} < \frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{5}{3}

D.

\frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{7}{5}

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15. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} - \sqrt{x}, x > 0, \\ a x^{2} + 2 a x + 3, x ⩽ 0 \end{cases}

有且仅有 3 个零点

α, β, γ

, 若

α < β < γ

, 则

A.

\ln α β = γ

B.

\ln α β = γ - 1

C.

\ln α β < γ - 1

D.

\ln α β < γ

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16. 若函数

f (x) = \frac{d}{a x^{2} + b x + c} (a, b, c, d \in R)

的图象如图所示, 则

a : b : c : d =

A.

1 : 6 : 5 : (- 8)

B.

1 : 6 : 5 : 8

C.

1 : (- 6) : 5 : 8

D.

1 : (- 6) : 5 : (- 8)

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17. 已知函数

f (x)

及其导函数

f^{'} (x)

的定义域均为

R

, 记

g (x) = f^{'} (x)

. 若

f (x + 3)

为奇函数,

g (\frac{3}{2} + 2 x)

为偶函数, 且

g (0) = - 3, g (1) = 2

, 则

\sum_{i = 1}^{2023} g (i) =

A.

670

B.

672

C.

674

D.

676

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18. 已知函数

f (x) = {\begin{matrix} x, x > 0 \\ e^{2 x}, x \leq 0^{'} \end{matrix}, g (x) = - x^{2} + 2 x

(其中

e

是自然对数的底数), 若关于

x

的方程

g (f (x)) - m = 0

恰有三个不等实根

x_{1}, x_{2}, x_{3}

, 且

x_{1} < x_{2} < x_{3}

, 则

x_{2} - 2 x_{1} - 2 x_{3}

的最小值为

A.

\ln 3 - 3

B.

\frac{3}{2} - \ln 2

C.

\ln 2 - 3

D.

- 1

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19. 若函数

f (x) = \sqrt{\frac{1}{2} x + a^{2}} + \sqrt{x^{2} - 1} - x

有零点, 则

a

的取值范围是

A.

[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]

B.

(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, + \infty)

C.

(0, \frac{1}{2})

D.

(\frac{1}{2}, + \infty)

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20. 若函数

f (x) = a \ln x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}} (a \neq 0)

既有极大值也有极小值, 则

A.

b c > 0

B.

a b > 0

C.

b^{2} + 8 a c > 0

D.

a c < 0

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21. 设函数

f (x) = a x^{2} + b x + c

的零点为

m, n

, 其中

m < n

, 若函数

f (x) + f^{'} (x)

的零点为

p, q

, 且

p <

q

, 下列判断正确的是

A.

当

a > 0

时,

p < m < q < n

, 当

a < 0

时,

m < p < n < q

B.

当

a < 0

时,

p < m < q < n

, 当

a > 0

时,

m < p < n < q

C.

p < m < q < n

D.

m < p < n < q

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22. 已知实数

λ > 0

, 记函数构成的集合

A_{λ} = {m (x) | \forall x_{1}, x_{2} \in R, | m (x_{2}) - m (x_{1}) | < λ | x_{2} - x_{1} ∣}

. 已知实数

α

、

β > 0

, 若

g (x) \in A_{α}, h (x) \in A_{β}

, 则下列结论正确的是

A.

g (x) \cdot h (x) \in A_{α β}

B.

若

h (x) \neq 0

, 则

\frac{g (x)}{h (x)} \in A_{\frac{\partial}{β}}

C.

g (x) - h (x) \in A_{u - β}

D.

g (x) + h (x) \in A_{a + β}

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23. 已知函数

f (x) = x^{2} + 2^{x} + 2^{- x}

, 若不等式

f (1 - a x) < f (2 + x^{2})

对任意

x \in R

恒成立, 则实数

a

的取值范围是

A.

(- 2 \sqrt{3}, 2)

B.

(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})

C.

(- 2, 2 \sqrt{3})

D.

(- 2, 2)

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24. 已知

a > 0

, 若对任意的

x > 0, a \cdot e^{a x - 1} ⩾ \frac{\ln x}{e}

恒成立, 则实数

a

的最小值为

A.

B.

\frac{1}{e}

C.

e^{2}

D.

\frac{1}{e^{2}}

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25. 已知函数

f (x) = 3 \cos (ω x + φ) (ω > 0)

, 若

f (- \frac{π}{4}) = 3, f (\frac{π}{2}) = 0

, 在区间

(- \frac{π}{3}, - \frac{π}{6})

上没有零点, 则

ω

的取值共有

A.

4个

B.

5个

C.

6个

D.

7个

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26. 已知函数

f (x) = x + 4 \sin x

,则曲线

y = f (x)

在点

(0, f (0))

处的切线方程为（　　）

A.

5 x - y = 0

B.

5 x + y = 0

C.

x - 5 y = 0

D.

x + 5 y = 0

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27. 设函数

f (x) = \frac{x}{e^{x}}

,则曲线

y = f (x)

在

(- 1, f (- 1))

处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（　　）

A.

e

B.

\frac{e}{2}

C.

\frac{e}{4}

D.

\frac{e}{8}

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28. 已知函数

f (x) = \ln x

的图象在点

(x_{1}, f (x_{1}))

与

(x_{2}, f (x_{2}))

处的切线互相垂直且交于点

P (x_{0}, y_{0})

,则（　　）

A.

x_{1} x_{2} = - 1

B.

x_{1} x_{2} = e

C.

x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}

D.

x_{0} = \frac{2}{x_{1} + x_{2}}

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29. 函数

f (x) = x - \frac{6}{x} - 5 \ln x

的单调递减区间为（　　）

A.

(0, 2)

B.

(2, 3)

C.

(1, 3)

D.

(3, + \infty)

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30. 若

\frac{e^{x}}{x} + a \ln x - a x + e^{2} ⩾ 0 (a > 0)

, 则

a

的取值范围为

A.

(0, e^{2}]

B.

(0, \frac{e^{2}}{2}]

C.

[\frac{1}{e}, e^{2}]

D.

[\frac{1}{e}, \frac{e^{2}}{2}]

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二、多选题（共 10 题），每题有多个选项正确

31. .已知

f (x)

是定义在

R

上的偶函数，

g (x)

是定义在

R

上的奇函数，且

f (x) ， g (x)

在

(- \infty, 0]

单调递减，则

A.

f (f (1)) < f (f (2))

B.

f (g (1)) < f (g (2))

C.

g (f (1)) < g (f (2))

D.

g (g (1)) < g (g (2))

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32. 已知

f^{'} (x), g^{'} (x)

分别是定义在

R

上的函数

f (x), g (x)

的导函数,

f (x + 1) - g (3 - x) = 3, f^{'} (x - 2) = g^{'} (x +

2)

, 且

f (x + 1)

是奇函数, 则

A.

g (x)

的图象关于直线

x = 4

对称

B.

f (x)

的图象关于点

(- 1, 0)

对称

C.

\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 0

D.

\sum_{k = 1}^{2025} g (k) = 0

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33. 已知函数

f (x) = e^{x} - \ln (x + m)

, 则下面对函数

f (x)

的描述正确的是

A.

当

m = 0

时,

f (x) < 0

无解

B.

当

m = 3

时,

f (x) > - \frac{1}{2}

恒成立

C.

当

m = 3

时,

f (x) = - 1

有解

D.

当

m = 2

时,

f (x) > 0

恒成立

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34. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} \sin x + \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}

, 则

A.

f (x)

的图象向右平移

\frac{5 π}{6}

个单位长度后得到函数

y = - \cos x

的图象

B.

f (x)

的图象与

g (x) = \sin (x + \frac{2 π}{3})

的图象关于

y

轴对称

C.

f (x)

的单调递减区间为

[2 k π + \frac{π}{6}, 2 k π + \frac{7 π}{6}] (k \in Z)

D.

f (x)

在

[0, a]

上有 3 个零点, 则实数

a

的取值范围是

[\frac{8 π}{3}, \frac{11 π}{3}]

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35. 已知

f (x) (x \in R)

为偶函数, 且

f (x - \frac{3}{2}) = f (x + \frac{1}{2})

恒成立. 当

x \in [2, 3]

时

f (x) = x

. 则下列四个命題中, 正确的是

A.

f (x)

的周期是

2 k (k \neq 0, k \in Z)

B.

f (x)

的图象关于点

(1, 0)

对称

C.

当

x \in [- 3, - 2]

时,

f (x) = - x

D.

当

x \in [- 2, 0]

时,

f (x) = 3 - | x + 1 |

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36. 函数

y = (k x^{2} + 1) e^{x}

的图象可能是

A.

B.

C.

D.

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37. 已知函数

f (x) = \frac{e^{| x |}}{x^{2}}

, 则

A.

f (x)

为偶函数

B.

f (x)

的最小值为

\frac{e^{2}}{4}

C.

函数

g (x) = f (x) - a (a > \frac{e^{2}}{4})

有两个零点

D.

直线

e x + y - 2 e = 0

是曲线

y = f (x)

的切线

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38. 定义: 对于定义在区间

I

上的函数

f (x)

和正数

α (0 < α \leq 1)

, 若存在正数

M

, 使得不等式

| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq

M {| x_{1} - x_{2} |}^{α}

对任意

x_{1}, x_{2} \in I

恒成立, 则称函数

f (x)

在区间

I

上满足

α

阶李普希兹条件, 则下列说法正确的有

A.

函数

f (x) = \sqrt{x}

在

1, + \infty)

上满足

\frac{1}{2}

阶李普希兹条件.

B.

若函数

f (x) = x \ln x

在

[1, e]

上满足一阶李普希兹条件, 则

M

的最小值为 2 .

C.

若函数

f (x)

在

[a, b]

上满足

M = k (0 < k < 1)

的一阶李普希兹条件, 且方程

f (x) = x

在区间

[a, b]

上有解

x_{0}

, 则

x_{0}

是方程

f (x) = x

在区间

[a, b]

上的唯一解.

D.

若函数

f (x)

在

[0, 1]

上满足

M = 1

的一阶李普希兹条件, 且

f (0) = f (1)

, 则存在满足条件的函数

f (x)

, 存在

x_{1}, x_{2} \in [0, 1]

, 使得

| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = \frac{2}{3}

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39. 已知

λ > 0

, 若关于

x

的方程

\frac{e^{x - 1}}{x} - λ x + λ \ln (λ x) = 0

存在正零点, 则实数

λ

的值可能为

A.

\frac{1}{e}

B.

\frac{1}{2}

C.

e

D.

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40. 定义: 对于定义在区间

I

上的函数

f (x)

和正数

α (0 < α \leq 1)

, 若存在正数

M

, 使得不等式

| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq

M {| x_{1} - x_{2} |}^{α}

对任意

x_{1}, x_{2} \in I

恒成立, 则称函数

f (x)

在区间

I

上满足

α

阶李普希兹条件, 则下列说法正确的有

A.

函数

f (x) = \sqrt{x}

在

1, + \infty)

上满足

\frac{1}{2}

阶李普希兹条件.

B.

若函数

f (x) = x \ln x

在

[1, e]

上满足一阶李普希兹条件, 则

M

的最小值为 2 .

C.

若函数

f (x)

在

[a, b]

上满足

M = k (0 < k < 1)

的一阶李普希兹条件, 且方程

f (x) = x

在区间

[a, b]

上有解

x_{0}

, 则

x_{0}

是方程

f (x) = x

在区间

[a, b]

上的唯一解.

D.

若函数

f (x)

在

[0, 1]

上满足

M = 1

的一阶李普希兹条件, 且

f (0) = f (1)

, 则存在满足条件的函数

f (x)

, 存在

x_{1}, x_{2} \in [0, 1]

, 使得

| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = \frac{2}{3}

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