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gzsx3

数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + φ)

在区间

(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})

单调递增,直线

x = \frac{π}{6}

和

x = \frac{2 π}{3}

为函数

y = f (x)

的图象的两条对称轴,则

f (- \frac{5 π}{12}) =

（　　）

A.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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2. 函数

f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

的部分图象如图所示，则

f (\frac{7}{3}) =

（　　）

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

1

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3. 设

f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6})

在

[- π, π]

的图象大致如下图,则

f (x)

的最小正周期为（　　）

A.

\frac{10 π}{9}

B.

\frac{7 π}{6}

C.

\frac{4 π}{3}

D.

\frac{3 π}{2}

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4. 为了得到函数

y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})

的图象,只需把函数

y = 2 \sin x

的图象（　　）

A.

向左平移

\frac{π}{6}

个单位长度

B.

向右平移

\frac{π}{6}

个单位长度

C.

向左平移

\frac{π}{3}

个单位长度

D.

向右平移

\frac{π}{3}

个单位长度

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5. 要得到函数

y = \cos (2 x - \frac{π}{4})

的图象,只需要将函数

y = \cos 2 x

的图象（　　）

A.

向左平移

\frac{π}{8}

个单位

B.

向右平移

\frac{π}{8}

个单位

C.

向左平移

\frac{π}{4}

个单位

D.

向右平移

\frac{π}{4}

个单位

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6. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})

的最小正周期为

π

,且满足

f (x + φ) = f (φ - x)

,则要得到函数

f (x)

的图象,可将

g (x) = \cos ω x

的图象（　　）.

A.

向左平移

\frac{π}{3}

个单位长度

B.

向右平移

\frac{π}{3}

个单位长度

C.

向左平移

\frac{π}{6}

个单位长度

D.

向右平移

\frac{π}{6}

个单位长度

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7. 将

y = \sin (2 x + \frac{π}{3})

的图象向左平移

\frac{π}{6}

个单位，再向上平移两个单位，最后将所有点的横坐标缩短为原来的

\frac{1}{2}

倍，则所得的函数图象的解析式为（　　）

A.

y = \sin (x + \frac{2 π}{3}) + 2

B.

y = \sin (4 x - \frac{2 π}{3}) + 2

C.

y = \cos 4 x + 2

D.

y = \sin (4 x + \frac{2 π}{3}) + 2

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8. 将函数

f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})

的图象向右平移

\frac{π}{3}

个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的

\frac{1}{2}

倍，纵坐标不变，得到

g (x)

的图象，则（　　）

A.

g (x)

为奇函数

B.

g (x)

为偶函数

C.

g (x)

的最小正周期为

2 π

D.

g (\frac{2 π}{3} - x) = g (x)

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9. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + φ) (ω

为正整数,

0 < φ < π)

在区间

(\frac{π}{4}, π)

上单调,且

f (π) = f (\frac{3 π}{2})

,则

φ =

（　　）

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{2 π}{3}

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10. 已知函数

f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 2

,则

f (\frac{π}{8}) + f (\frac{2 π}{8}) + \dots + f (\frac{13 π}{8}) =

（　　）

A.

0

B.

10

C.

16

D.

26

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11. 一半径为4.8m的水轮如图所示,水轮圆心

O

距离水面2.4m,已知水轮每60s逆时针转动一圈，如果当水轮上点

P

从水中浮现时（图中点

P_{0}

）开始计时，则（　　）.

A.

点

P

离水面的距离

d

(单位：m)与时间

t

(单位：s)的函数解析式为

d = 4.8 \sin (\frac{π}{30} t - \frac{π}{6}) - 2.4

B.

点

P

第一次到达最高点需要10s

C.

在水轮转动的一圈内，点

P

离水面的高度不低于4.8m共有10s时间

D.

当水轮转动50s时，点

P

在水面下方，距离水面2.4m

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12. 下面关于函数

f (x) = \sin 2 x + 2 | \sin x | \cos x

的结论，其中错误的是（　　）

A.

f (x)

的值域是

[- 2, 2]

B.

f (x)

是周期函数

C.

f (x)

的图象关于直线

x = \frac{π}{2}

对称

D.

当

x \in (π, 2 π)

时,

f (x) = 0

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13. 将函数

y = \sin x

的图象上各点横坐标缩短为原来的

\frac{1}{2}

,再向左平移

\frac{π}{6}

个单位长度得到函数

y = f (x)

的图象,当

x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]

时,

f (x)

的值域为（　　）.

A.

[- 1, 1]

B.

[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]

C.

[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]

D.

[- \frac{1}{2}, 1]

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14. 函数

y = \sin (\frac{π}{4} - 2 x)

的单调递减区间是（　　）.

A.

[k π - \frac{π}{8}, k π + \frac{3 π}{8}] (k \in Z)

B.

[2 k π - \frac{π}{8}, 2 k π + \frac{3 π}{8}] (k \in Z)

C.

[2 k π + \frac{3 π}{8}, 2 k π + \frac{7 π}{8}] (k \in Z)

D.

[k π + \frac{3 π}{8}, k π + \frac{7 π}{8}] (k \in Z)

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15. 已知函数

g (x) = \cos x + \sin x

,

h (x) = \sin (x + \frac{π}{2}) + \sin (x + π)

,设

f (x) = g (x - \frac{π}{6}) h (x - \frac{π}{6})

,则

f (x)

的单调递增区间是（　　）.

A.

[k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)

B.

[k π + \frac{5 π}{12}, k π + \frac{11 π}{12}] (k \in Z)

C.

[k π - \frac{π}{12}, k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)

D.

[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)

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16. 函数

f (x) = \cos (ω x + \frac{3 π}{4}) (ω > 0)

在区间

(0, 1)

上不可能（　　）

A.

有最大值

B.

有最小值

C.

单调递增

D.

单调递减

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17. 若函数

f (x) = 2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})

在区间

[- a, a] (a > 0)

上单调递增，则

a

的取值范围为（　　）

A.

(0, \frac{π}{3}]

B.

(0, \frac{2 π}{3}]

C.

(0, \frac{4 π}{3}]

D.

(0, \frac{5 π}{3}]

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18. 已知函数

f (x) = 2 \cos (ω x + φ) - 1 (ω > 0, 0 < φ < π)

的图象经过原点，且

f (x)

在

(0, π)

上有且仅有一个零点，则

ω

的最大值为（　　）

A.

\frac{4}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

2

D.

\frac{13}{6}

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19. 记函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)

的最小正周期为

T

,若

\frac{π}{4} < T < \frac{π}{2}

,且

f (x) \leq | f (\frac{π}{3}) |

,则

ω =

（　　）

A.

4

B.

5

C.

6

D.

7

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20. 记函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) + b (ω > 0)

的最小正周期为

T

,若

\frac{2 π}{3} < T < π

,且y=f(x)的图象关于点

(\frac{2 π}{3}, 2)

中心对称,则

f (\frac{π}{2}) =

（　　）.

A.

1

B.

\frac{3}{2}

C.

\frac{5}{2}

D.

3

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21. 函数

f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < x)

的最小正周期

T = \frac{2 π}{3}

,其图象关于

(\frac{π}{18}, 0)

对称,且当

x \in [\frac{π}{6}, m]

时,

f (x)

的值域为

[- 1, - \frac{\sqrt{3}}{2}]

,则

m

的取值范围为（　　）.

A.

[\frac{π}{9}, \frac{7 π}{18}]

B.

[\frac{2 π}{9}, \frac{7 π}{18}]

C.

[\frac{π}{9}, \frac{5 π}{18}]

D.

[\frac{2 π}{9}, \frac{5 π}{18}]

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22. 已知函数

f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)

,将

f (x)

的图象向右平移

\frac{π}{6 ω}

个单位长度得到函数

g (x)

的图象,若

g (x)

是奇函数,

f (x)

在

(0, \frac{π}{6})

上单调递增，则

ω

的最大值为（　　）

A.

\frac{2}{3}

B.

1

C.

2

D.

3

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23. 若存在实数

a

, 对任意的

x \in [0, m]

, 都有

(\sin x - a) \cdot (\cos x - a) ⩽ 0

恒成立, 则实数

m

的最大值为

A.

\frac{π}{4}

B.

\frac{π}{2}

C.

\frac{3 π}{4}

D.

\frac{5 π}{4}

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24.

△ A B C

的内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,若

a \cos B = b \sin A

,

C = \frac{π}{3}

,

c = \frac{3}{2}

,

b =

（　　）

A.

\frac{\sqrt{6}}{2}

B.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

C.

\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

D.

\frac{3 \sqrt{3} - 3}{2}

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25. 已知

△ A B C

中,内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,若

b = 2 c

,

a = \sqrt{6}

,

\cos A = \frac{7}{8}

,则

△ A B C

的面积为（　　）

A.

\frac{\sqrt{30}}{2}

B.

\sqrt{15}

C.

\sqrt{30}

D.

\frac{\sqrt{15}}{2}

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26. 在

△ A B C

中,内角

A

,

B

,

C

所对的边长分别为

a

,

b

,

c

,若

A = \frac{π}{3}

,

b = 4

,

△ A B C

的面积为

3 \sqrt{3}

,则

\sin B =

（　　）

A.

\frac{2 \sqrt{39}}{13}

B.

\frac{\sqrt{39}}{13}

C.

\frac{5 \sqrt{2}}{13}

D.

\frac{3 \sqrt{13}}{13}

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27. 在

△ A B C

中，内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,且

\sqrt{3} a \cos B = b \sin A

,则

B =

（　　）

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{2 π}{3}

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28. 在

△ A B C

中，内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,且

b = a \cos C

,则

△ A B C

是（　　）

A.

等腰三角形

B.

直角三角形

C.

等腰直角三角形

D.

等边三角形

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29. 在

△ A B C

中，内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,若

c^{2} = (a - b)^{2} + 6

,

C = \frac{π}{3}

,则

△ A B C

的面积为（　　）

A.

3

B.

\frac{9 \sqrt{3}}{2}

C.

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

D.

3 \sqrt{3}

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30. 在

△ A B C

中，内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,若

A = \frac{π}{3}

,

b = 2

,

c = 3

,则

\frac{a - 2 b + 2 c}{\sin A - 2 \sin B + 2 \sin C}

的值等于（　　）

A.

\sqrt{21}

B.

\frac{2 \sqrt{21}}{3}

C.

\frac{4 \sqrt{7}}{3}

D.

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

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31. 在

△ A B C

中,

a = 3 \sqrt{2}

,

c = 3

,

A = 45 °

,则

△ A B C

的最大内角为（　　）

A.

105 °

B.

120 °

C.

135 °

D.

150 °

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32. 在

△ A B C

中，内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,若

a \cos B - b \cos A = c

,且

C = \frac{π}{5}

,则

B =

（　　）

A.

\frac{π}{10}

B.

\frac{π}{5}

C.

\frac{3 π}{10}

D.

\frac{2 π}{5}

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33. 在

△ A B C

中，内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,若

2 a^{2} = 2 b^{2} + b c

,

\cos A = \frac{1}{4}

，则

\frac{b}{c} =

（　　）.

A.

\frac{1}{2}

B.

\sqrt{2}

C.

1

D.

2

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34.

△ A B C

的内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,已知

9 \sin^{2} B = 4 \sin^{2} A

,

\cos C = \frac{1}{4}

，则

\frac{c}{a} =

（　　）.

A.

\frac{\sqrt{11}}{4}

B.

\frac{\sqrt{10}}{4}

C.

\frac{\sqrt{11}}{3}

D.

\frac{\sqrt{10}}{3}

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35. 在

△ A B C

中,内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,且

△ A B C

的面积

S = \frac{1}{4} a b c

,若

C = \frac{π}{3}

,则

S

的最大值为（　　）.

A.

2 \sqrt{3}

B.

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

C.

2 \sqrt{6}

D.

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

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36. 在

△ A B C

中，内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,若

\cos B + \sqrt{3} \sin B = 2

,

\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{2 \sin A \sin B}{3 \sin C}

,则

\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =

（　　）.

A.

2

B.

4

C.

6

D.

8

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37. 在

△ A B C

中,若

\cos C = \frac{b}{2 a}

,则此三角形一定是（　　）

A.

等腰三角形

B.

直角三角形

C.

等腰直角三角形

D.

既非等腰也非直角三角形

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38. 设

△ A B C

的内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,且

(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b

,

2 \cos A \sin B = \sin C

,则

△ A B C

是（　　）

A.

直角三角形

B.

等边三角形

C.

钝角三角形

D.

等腰直角三角形

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39. 如图，小明同学为测量某建筑物

C D

的高度，在它的正东方向找到一座建筑物

A B

,高为12m,在地面上的点

M (B, M, D

三点共线)处测得楼顶

A

、建筑物顶部

C

的仰角分别为

15 °

和

60 °

，在楼顶

A

处测得建筑物顶部

C

的仰角为

30 °

，则小明测得建筑物

C D

的高度为.(精确到1m,参考数据：

\sqrt{2} \approx 1.414

,

\sqrt{3} \approx 1.732

)（　　）

A.

42m

B.

45m

C.

51m

D.

57m

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40. 如图，在

△ A B C

中，

D

是边

A C

上的点，且

A B = A D

,

2 A B = \sqrt{3} B D

,

B C = 2 B D

,则

\sin C

的值为（　　）

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{6}

C.

\frac{\sqrt{6}}{3}

D.

\frac{\sqrt{6}}{6}

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