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数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音: “道路干万条, 安全第一条, 行车不规范, 辛人两行泪” 成为网络热句.讲的是 “开车不喝酒, 喝酒不开车” 2019 年, 公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》, 对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定, 根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准, 车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验, 一般情况下, 某人喝一瓶筥酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图,
且图表所示的函数模型

y = {\begin{cases} 40 \sin (\frac{π}{3} x) + 13, 0 \leq x < 2 \\ 90 \cdot e^{- 0.5 x} + 14, x \geq 2 \end{cases}

, 假设该人喝一瓶㗭酒后至少经过

n (n \in N^{*})

小时才可以驾车，则

n

的值为（参考数据：

\ln 15 \approx 2.71, \ln 30 \approx 3.40

）（　　）

A.

5

B.

6

C.

7

D.

8

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2. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车, 若把这一过程中汽车的行驶路程

s

看作时间

t

的函数, 其图象可能是（　　）

A.

B.

C.

D.

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3. 若函数

y = f (x)

的图象与函数

y = \ln \sqrt{x} + 1

的图象关于直线

y = x

对称, 则

f (x) =

（　　）

A.

e^{2 x - 2}

B.

e^{2 x}

C.

e^{2 x + 1}

D.

e^{2 x + 2}

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4. 已知曲线

y = \frac{x + 1}{x - 1}

在点

(3, 2

) 处的切线与直线

a x + y + 1 = 0

垂直, 则

a

的值为

(

)

A.

2

B.

\frac{1}{2}

C.

- \frac{1}{2}

D.

- 2

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5. 设偶函数

f (x)

满足

f (x) = 2^{x} - 4 (x ⩾ 0)

，则

{x ∣ f (x - 2) > 0} =

（　　）

A.

{x ∣ x < - 2

或

x > 4}

B.

{x ∣ x < 0

或

x > 4}

C.

{x ∣ x < 0

或

x > 6}

D.

{x ∣ x < - 2

或

x > 2}

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6. 下列函数中, 既是偶函数又在

(0, + \infty)

上单调递增的函数是（ )

A.

y = 2 x^{3}

B.

y = | x | + 1

C.

y = - x^{2} + 4

D.

y = 2^{- | x |}

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7. 已知函数

f (x) = \frac{1}{\ln (x + 1) - x}

, 则

y = f (x)

的图象大致为 ( )

A.

B.

C.

D.

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{(x^{2} + x + y)}^{5}

的展开式中,

x^{5} y^{2}

的系数为 ( )

A.

B.

C.

D.

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9. 函数

y = 2 x^{2} - e^{| x |}

在

[- 2, 2]

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

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10. 已知

a = \frac{31}{32}, b = \cos \frac{1}{4}, c = \frac{1}{4} \sin \frac{1}{4}

则

A.

c > b > a

B.

b > a > c

C.

a > b > c

D.

a > c > b

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11. 当

x = 1

时, 函数

f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}

取得最大值

- 2

, 则

f^{'} (2) =

A.

- 1

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

1

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12. 设函数

f (x)

的定义域为

R

, 且

f (x + 2)

是奇函数,

f (x + 1)

是偶函数, 则一定有

A.

f (4) = 0

B.

f (- 1) = 0

C.

f (3) = 0

D.

f (5) = 0

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13. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + θ), (ω > 0, | θ | < \frac{π}{2}), x = \frac{π}{6}

是

f (x)

的一个极值点,

x = - \frac{π}{6}

是与其相邻的一个零点, 则

f (\frac{π}{3})

的值为

A.

B.

C.

- 1

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

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14. 已知函数

f (x)

的导函数为

f^{'} (x), f^{'} (- 2) = - 2

, 则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (- 2 - 4 Δ x) - f (- 2)}{Δ x} =

A.

- 8

B.

- 2

C.

2

D.

8

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15. 已知

y = f (x)

是定义域为

R

的奇函数, 若

y = f (2 x + 1)

的最小正周期为 1 , 则下列说法一定正确的是

A.

f (x + 1) = f (- x + 1)

B.

1 是

f (x)

的一个周期

C.

f (1) = f (- 1) = 0

D.

f (\frac{1}{2}) + f (\frac{3}{2}) = 1

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16. 古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”:

S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

, 其中

p = \frac{a + b + c}{2}, a, b, c

分别为

△ A B C

的三个内角

A, B, C

所对的边, 该公式具有轮换对称的特点.已知在

△ A B C

中,

\sin A : \sin B : \sin C = 8 : 7 : 3

, 且

t r i a n g l e A B C

的面积为

12 \sqrt{3}

, 则

B C

边上的中线长度为

A.

3 \sqrt{2}

B.

C.

\sqrt{74}

D.

\sqrt{26}

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17. 在

△ A B C

中, 内角

A, B, C

的对边分别为

a 、 b 、 c

, 若

(a + c) (\sin A - \sin C) = b (\sin A - \sin B)

, 且

c = \sqrt{3}

, 则

a - \frac{b}{2}

的取值范围为

A.

(- 1, 2)

B.

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)

C.

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})

D.

(- 1, \sqrt{3})

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18. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)

对任意

x \in (0, \frac{3 π}{8})

都有

f (x) > \frac{1}{2}

，则当

ω

取到最大值时，

f (x)

图象的一条对称轴为

A.

x = \frac{π}{8}

B.

x = \frac{3 π}{16}

C.

x = \frac{π}{2}

D.

x = \frac{3 π}{4}

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19. 已知

α

为锐角，

\sin α = \frac{3}{5}

，角

β

的终边上有一点

P (2, 1)

，则

\tan (α + β) =

A.

B.

\frac{10}{11}

C.

\frac{11}{10}

D.

- \frac{11}{12}

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20.

\sin 2023^{\circ} \cos 17^{\circ} + \cos 2023^{\circ} \sin 17^{\circ} =

A.

\frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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21. 若

α \in (\frac{3 π}{4}, π)

，化简:

\sqrt{1 - 2 \sin α \cos α} + \sqrt{1 + 2 \sin α \cos α} =

A.

2 \sin α

B.

2 \cos α

C.

- 2 \sin α

D.

- 2 \cos α

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22. 已知角

α (0^{\circ} < α < 360^{\circ})

终边上

A

点坐标为

(\sin 310^{\circ}, \cos 310^{\circ})

, 则

α =

A.

130^{\circ}

B.

140^{\circ}

C.

220^{\circ}

D.

230^{\circ}

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23. 若

\sin α = \frac{1}{3}

, 则

\cos 2 α =

A.

\frac{8}{9}

B.

\frac{7}{9}

C.

- \frac{7}{9}

D.

- \frac{8}{9}

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24. 已知正

△ A B C

的边长为

a

, 那么

△ A B C

的平面直观图

△ A^{'} B^{'} C^{'}

的面积为

A.

\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{8} a^{2}

C.

\frac{\sqrt{6}}{8} a^{2}

D.

\frac{\sqrt{6}}{16} a^{2}

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25.

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 若

\frac{c}{b} <

\cos A

, 则

△ A B C

为

A.

钝角三角形

B.

直角三角形

C.

锐角三角形

D.

等边三角形

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26. 如图,测量河对岸的塔高

A B

时可以选与塔底

B

在同一水平面内的两个测点

C

与

D

, 测得

∠ B C D = 15^{\circ}, ∠ B D C = 30^{\circ}, C D = 30

, 并在点

C

测得塔顶

A

的仰角为

60^{\circ}

, 则塔高

A B

等于

A.

5 \sqrt{6}

B.

15 \sqrt{3}

C.

15 \sqrt{6}

D.

5 \sqrt{2}

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27.

\frac{\sqrt{3}}{\cos 190^{\circ}} + \frac{1}{\cos 80^{\circ}} =

A.

-4

B.

C.

-2

D.

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28.

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

b^{2} + c^{2} -

\sqrt{3} b c = a^{2}, b c = \sqrt{3} a^{2}

, 则角

C

的大小是

A.

\frac{π}{6}

或

\frac{2 π}{3}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{2 π}{3}

D.

\frac{π}{6}

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29. 已知

\tan α = 2

, 则

\frac{\sin 3 α}{\sin α + \cos α} =

A.

\frac{7}{9}

B.

\frac{2}{15}

C.

- \frac{7}{9}

D.

- \frac{2}{15}

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30. 在

△ A B C

中, 若

A C^{2} + B C^{2} = 5 A B^{2}

, 则

\frac{\tan C}{\tan A} + \frac{\tan C}{\tan B} =

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

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31. 若

\forall x \in R, x^{2} ⩾ - \frac{1}{2} \cos 2 ω x + \frac{1}{2}

, 则实数

ω

的最大值为

A.

B.

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{π}{2}

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32. 已知

△ A B C

的内角

A 、 B 、 C

的对边分别为、

b 、 c

, 若

A = 60^{\circ}, b = 10

, 则下列

a

的取值中, 使得该三角形有两解的是

A.

a = 8

B.

a = 9

C.

a = 10

D.

a = 11

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33. 如图,

O A

是连接河岸

A B

与

O C

的一座古桥, 因保护古迹与发展的需要, 现规划建一座新桥

B C

, 同时设立一个圆形保护区. 规划要求:
①新桥

B C

与河岸

A B

垂直;
②保护区的边界为一个圆, 该圆与

B C

相切，且圆心

M

在线段

O A

上;
③古桥两端

O

和

A

到该圆上任意一点的距离均不少于

80 m

.

经测量, 点

A 、 C

分别位于点

O

正北方向

60 m

、正东方向

170 m

处,

\tan ∠ B C O = \frac{4}{3}

, 根据图中所给的平面直.角坐标系, 下列结论中, 正确的是

A.

新桥

B C

的长为

150 m

B.

圆心

M

可以在点

A

处

C.

圆心

M

到点

O

的距离至多为

35 m

D.

当

O M

长为

20 m

时, 圆形保护区的面积最大

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34. 已知

α

为三角形的内角, 且

\cos α = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}

, 则

\sin \frac{α}{2} =

A.

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}

B.

\frac{1 + \sqrt{5}}{4}

C.

\frac{3 - \sqrt{5}}{8}

D.

\frac{3 - \sqrt{5}}{4}

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35. 已知

f (x) = \sin ω x, f (x_{1}) = - 1, f (x_{2}) = 1, {| x_{1} - x_{2} |}_{min} = \frac{π}{2}

, 则

ω =

A.

B.

C.

D.

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36. 在

△ A B C

中,

A = \frac{π}{4}, \cos B = \frac{3}{5}

, 则

\sin C =

A.

\frac{\sqrt{2}}{10}

B.

- \frac{\sqrt{2}}{10}

C.

\frac{7 \sqrt{2}}{10}

D.

- \frac{7 \sqrt{2}}{10}

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37. 为了得到函数

y = 3 \sin (2 x - \frac{π}{5})

的图象, 只要把

y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{5})

图象上所有的点

A.

向右平行移动

\frac{π}{5}

个单位长度

B.

向左平行移动

\frac{π}{5}

个单位长度

C.

向右平行移动

\frac{2 π}{5}

个单位长度

D.

向左平行移动

\frac{2 π}{5}

个单位长度

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38. 在

△ A B C

中,

\cos A = \frac{3}{5}, \sin B = \frac{3}{15}

, 则

\sin C

的值为

A.

\frac{63}{65}

或

\frac{33}{65}

B.

\frac{33}{65}

C.

\frac{63}{65}

D.

\frac{33}{65}

或

\frac{13}{65}

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39. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”, 如图,

A B

是以

O

为圆心,

O A

为半径的圆弧,

C

是

A B

的中点，

D

在

A B

上,

C D ⊥ A B

. “会圆术"给出

A B

的弧长的近似值

s

的计算公式:

s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}

. 当

O A = 2, ∠ A O B = 60^{\circ}

时,

s =

A.

\frac{11 - 3 \sqrt{3}}{2}

B.

\frac{11 - 4 \sqrt{3}}{2}

C.

\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}

D.

\frac{9 - 4 \sqrt{3}}{2}

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40. 若

\sin (α + β) + \cos (α + β) = 2 \sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4}) \sin β

, 则

A.

\tan (α - β) = 1

B.

\tan (α + β) = 1

C.

\tan (α - β) = - 1

D.

\tan (α + β) = - 1

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