一、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成有界区域的面积为
求不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{4-x^4}} \mathrm{~d} x$;
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x,\end{array}\right.$ 求 $\int_2^4 f(x-2) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$;
问反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos ^3 x}{\left(x+2 \mathrm{e}^{-3 x}\right) \sqrt{1+x}} \mathrm{~d} x$ 是否收敛? 请说明理由;
二、解答题 （ 共 36 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求$ \int \frac{x+\sin x \cos x}{(\cos x-x \sin x)^2} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{1}{1+x^4} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \sqrt{\tan x} \mathrm{~d} x$
求不定积分 $\int \frac{1}{x^8+x^4+1} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{x^2 \mathrm{~d} x}{\left(x^4+1\right)^2}$.
求不定积分: $\int \ln \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$.
求不定积分: $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\left(x+x^{-1}\right)^2-12}}$.
求不定积分: $I=\int \frac{f^{\prime}(x)+f(x) g^{\prime}(x)}{f(x)\left[c+f(x) e^{g(x)}\right]} \mathrm{d} x$
计算积分: $\int \frac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}} \mathrm{~d} x$
求不定积分:
$$
\int \frac{\frac{\ln x}{x}+\ln ^2 x}{e^{-2 x}+\ln ^2 x} \mathrm{~d} x
$$
计算 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x+1-x^2}{(1+x \sin x) \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}$
求不定积分: $\int \frac{x^{1 / 7}+x^{1 / 2}}{x^{8 / 7}+x^{1 / 14}} \mathrm{~d} x$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^2(x-y)=x^2$ 所确定的隐函数, 求积分 $\int \frac{1}{y^2} \mathrm{~d} x$
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 a^2\left(x^2-y^2\right)$ 所确定的隐函数, 求积分
$$
\int \frac{1}{y\left(x^2+y^2+a^2\right)} \mathrm{d} x
$$
设 $y(x-y)^2=x$, 求积分 $\int \frac{1}{x-3 y} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{1}{(1+x) \sqrt{x^2+x+1}} \mathrm{~d} x$
求不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{(2 x+1) \sqrt{3+4 x-4 x^2}}$
求不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[4]{1+x^4}}$.
计算不定积分 $\int \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}} \mathrm{~d} x$ (其中根号 $\sqrt{ }$ 有 $n$ 重)。
求不定积分:$\int \frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x $
求不定积分 $\int \sqrt{e^{2 x}+4 e^x-1} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+2\right) \sqrt{2 x^2-2 x+5}}$
求不定积分: $\int x^3(\ln x)^4 \mathrm{~d} x$.
求不定积分: $\int \frac{1}{\left(x^2+x+1\right)^2} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int\left(\frac{\arctan x}{x-\arctan x}\right)^2 \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$
求不定积分 $\int \frac{1+x^4}{1-x^4} \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \mathrm{~d} x$
求$\int \frac{x^x(\cot x+\ln x \cdot \ln \sin x)}{e^x} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int e^{x \sin +\cos x}\left(\frac{x^4 \cos ^3 x-x \sin x+\cos x}{x^2 \cos ^2 x}\right) \mathrm{d} x$
求不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{(2+\cos x) \sin x}$
求不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x}$
求不定积分: $\int \frac{x^5-3 x^3+6 x+9}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{x^2}{(x-1)^3(x+1)} \mathrm{d} x$.
求不定积分 $\int \frac{x \mathrm{~d} x}{(x-1)^2(x+1)^3}$
求不定积分 $\int \frac{x^2+2}{\left(x^2+x+1\right)^2} \mathrm{~d} x$