一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型, 四个选项 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 中至少有两个选项正确, 并规定: 如果选择错误了选项就不得分. 若某题的正确答案是 $\mathrm{ABC}$, 某考生随机选择了 2 个选项, 则其能得分的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
A, B, C, D, E 五人并排站成一排, 如果 B 必须站在 A 的右边 (A, B 可以不相邻), 那么不同的排法共有
$\text{A.}$ 24 种
$\text{B.}$ 60 种
$\text{C.}$ 90 种
$\text{D.}$ 120 种
如果把两条异面直线看成 “一对”, 那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中, 异面直线共有
$\text{A.}$ 12对
$\text{B.}$ 24对
$\text{C.}$ 36对
$\text{D.}$ 48对
从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台, 其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台,则不同的取法共有
$\text{A.}$ 140种
$\text{B.}$ 84 种
$\text{C.}$ 70 种
$\text{D.}$ 35 种
在 $\left(x^2+3 x+2\right)^5$ 的展开式中 x 的系数为
$\text{A.}$ 160
$\text{B.}$ 240
$\text{C.}$ 360
$\text{D.}$ 800
$(\sqrt{\mathrm{x}}+1)^4(\mathrm{x}-1)^5$ 展开式中 $\mathrm{x}^4$ 的系数为
$\text{A.}$ -40
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 40
$\text{D.}$ 45
将数字 $1,2,3,4$ 填入标号为 $1,2,3,4$ 的四个方格里, 每格填一个数字, 则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有
$\text{A.}$ 6 种
$\text{B.}$ 9 种
$\text{C.}$ 11 种
$\text{D.}$ 23 种
有甲、乙、丙三项任务, 甲需 2 人承担, 乙、丙各需 1 人承担. 从 10 人中选派 4 人承担这三项任务, 不同的选法共有
$\text{A.}$ 1260 种
$\text{B.}$ 2025 种
$\text{C.}$ 2520 种
$\text{D.}$ 5040 种
6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有
$\text{A.}$ 720 种
$\text{B.}$ 360 种
$\text{C.}$ 240 种
$\text{D.}$ 120 种
四面体的顶点和各棱中点共 10 个点, 在其中取 4 个不共面的点, 不同的取法共有
$\text{A.}$ 150 种
$\text{B.}$ 147 种
$\text{C.}$ 144 种
$\text{D.}$ 141 种
3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检, 每校分配 1 名医生和 2 名护士, 不同的分配方法共有
$\text{A.}$ 90 种
$\text{B.}$ 180 种
$\text{C.}$ 270 种
$\text{D.}$ 540 种
若 $(2 x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4$, 则 $\left(a_0+a_2+a_4\right)^2-\left(a_1+a_3\right)^2$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 2
质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为 0.85 ，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为 0.80 ，则该构件通过质检的概率为
$\text{A.}$ 0.4
$\text{B.}$ 0.16
$\text{C.}$ 0.68
$\text{D.}$ 0.17
二、多选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
为了解推动出口后的亩收入 (单位: 万元) 情况, 从该种植区抽取样本, 得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{X}=$ 2.1, 样本方差 $S^2=0.01$, 已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N\left(1.8,0.1^2\right)$, 假设失去出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\bar{X}, S^2\right)$, 则 $\left(\right.$ ). (若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则 $P(Z < \mu+\sigma) \approx 0.8413$ )
$\text{A.}$ $P(X>2)>0.2$
$\text{B.}$ $P(X>2) < 0.5$
$\text{C.}$ $P(Y>2)>0.5$
$\text{D.}$ $P(Y>2) < 0.8$
已知由样本数据点集合 $\left\{\left(x_i, y_i\right) \mid i=1,2,3 \ldots, 20\right\}$ (其中 $\overline{\mathrm{x}}=\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=3$ ) 求得的回归直线方程 $l_1: \hat{y}=1.5 x+0.5$, 记此模型对应的相关指数为 $R_1^2$. 观察残差图发现: 除了数据点 $(1.2,2.2)$ 和 $(4.8,7.8)$ 明显偏离横轴, 其余各点均密集均匀分布, 剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程 $l_2: \hat{y}=1.2 x+\hat{a}$, 记此模型对应的相关指数为 $R_2^2$. 则下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 变量 $x$ 与 $y$ 正相关
$\text{B.}$ 记 $\bar{y}=\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} y_i$, 则 $\bar{y}=5$
$\text{C.}$ $R_1^2>R_2^2$
$\text{D.}$ $\hat{a}=1.4$
三、填空题 （共 19 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
甲乙两人各有四张卡片. 每张卡片上标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$, 飞的卡片上分别标有数字2,4,6,8。两人进行四轮比赛, 在每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分。然后各自弃置此轮所迭的卡片 (弃置的卡片在比后的轮次中不能使用), 则四轮比赛后, 甲的总得分小于 2 的概率为
在上图的 $4 \times 4$ 方格表中选 4 个方格, 要求每行和每列均恰有一个方格被选中, 则共有 ________ 种选法, 在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中的 4 个数之和的最大值是 ________
已知 $a \in\{1,3,7,9\}, b \in\{2,4,6,8\}, x$ 为 $a^b$ 的个位数, 求 $E(x)=$
若数集 $\mathrm{S}$ 的子集满足: 至少含有 2 个元素, 且任意两个元素之差的绝对值大于 1 , 则称该子集为数集 $\mathrm{S}$ 的超子集. 已知集合, 记 $A_n=\{1,2,3 \ldots, n\}\left(n \in N^*, n \geq 3\right)$, 记 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 的超子集的个数为 $a_n$, 当 $A_n$ 的超子集个数为 221 个时, $n=$
二项式 $\left(\frac{1}{3}+x\right)^{10}$ 的展开式中, 各项系数的最大值是
有 6 个相同的球, 分别标有数字 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6$, 从中不放回地随机抽取3次, 每次取 1 个球. 记 $m$ 表示前两个球号码的平均数, 记 $n$ 表示前三个球号码的平均数, 则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是
某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货, 统计了 30 天销售水牛奶的情况, 获得如下数据
该超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况. 该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度: 当天营业结束后检查存货, 若存货少于 30 件, 则通知配送中心立即补货至 40 件, 否则不补货. 假设某天开始营业时货架上有 40 件水牛奶, 则第二天营业结束后货架上有 20 件存货的概率为 $\qquad$ .(以样本估计总体, 将频率视为概率)
$(\mathrm{x}-1)-(\mathrm{x}-1)^2+(\mathrm{x}-1)^3-(\mathrm{x}-1)^4+(\mathrm{x}-1)^5$ 的展开式中, $\mathrm{x}^2$ 的系数等于
$(a x+1)^7$ 的展开式中, $x^2$ 的系数是 $x^2$ 的系数与 $x^2$ 的系数的等差中项. 若实数 $a>1$, 那么 $a=$
从 $1,2, \cdots, 10$ 这十个数中取出四个数, 使它们的和为奇数, 共有 种取法（用数字作答）
在 $(3-x)^7$ 的展开式中, $x^5$ 的系数是 $\qquad$ . (用数字作答)
正六边形的中心和顶点共 7 个点, 以其中 3 个点为顶点的三角形共有 $\qquad$个. (用数字作答)
已知 $\left(\frac{a}{x}-\sqrt{\frac{x}{2}}\right)^9$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $\frac{9}{4}$, 常数 $a$ 的值为
$(x+2)^{10}\left(x^2-1\right)$ 的展开式中 ${x}^{10}$ 的系数为 $\qquad$ (用数字作答)。
$(x-2 y+1)^5$ 展开式中含 $x^2 y$ 项的系数为
二项式 $\left(1-\frac{1}{x}\right)(1+x)^6$ 展开式中 $x^3$ 的系数为
已知随机变量 $X \sim B(50, p)$, 且 $E[X]=20$ ，则 $D[X]=$
4 名志愿者全部分到 3 所学校支教, 要求每所学校至少有 1 名志愿者, 则不同的分法共有 $\qquad$种.
已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$,若 $P(X < -1.96)=0.03$, 则 $P(|X| < 1.96)=$
四、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $m$ 为正整数, 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列, 若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j(i < j)$ 后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组, 且每组的 4 个数都能构成等差数列, 则称数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(i, j)--$ 可分数列.
(1) 写出所有的 $(i < j), 1 \leq i < j \leq 6$, 使数列 $a_1, a_2, \ldots, a_6$ 是 $(i < j)--$ 可分数列:
(2) 当 $m \geq 3$ 时, 证明: 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)--$ 可分数列:
(3) 从 $1,2, \ldots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j(i < j)$ 记数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(i < j)--$ 可分数列的概率为 $P_m$, 证明:
$$
P_m>\frac{1}{8} \text {. }
$$
某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成, 比赛具体规则如下: 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰, 比赛成绩为 0 分; 若至少投中一次, 则该队进入第二阶段, 由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分, 未投中得 0 分, 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成, 设甲每次投中的概率为 $p$, 乙每次投中的概率为 $q$, 各次投中与否相互独立.
(1) 若 $p=0.4, q=0.5$, 甲参加第一阶段比赛, 求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率.
(2) 假设 $0 < p < q$.
(i) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大, 应该由谁参加第一阶段的比赛?
(ii) 为使得甲、乙所在队的比赛成缌的数学期望最大, 应该由谁参加第一阶段的比赛?
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验, 数据如下:
（1）填写如下联保表
能否有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有 $99 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$. 设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率. 如果 $\bar{p}>p+1.65$
$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150 件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? $(\sqrt{150} \approx 12.247$ )
附: $K^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,
近年来, 我国新能源汽车进入快车道, 自 2015 年以来, 产销量已经连续八年增长, 位居全球前列. 近期国务院出台了新能源汽车系列政策, 促进了新能源汽车产业的发展. 某市一家知名品牌的新能源汽车企业近
5 个月的产值数据统计如下表:
(1) 求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程, 并预测明年 3 月份该企业的产值;
(2) 该企业依据市场调研, 为满足消费者的购买需求, 设计并生产了 $A, B, C$ 三种类型新能源汽车, 这三种类型的销量比依次为 $30 \%, 50 \%, 20 \%$, 销售价格依次为 15 万, 25 万, 40 万. 若该新能源汽车的某 $4 S$ 店每天销售 2 台,设销售额为随机变量 $X$, 求 $X$ 的分布列和数学期望.
参考公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^n x_i^2-n \bar{x}^2}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$;参考数据: $\sum_{i=1}^5 x_i y_i=442, \sum_{i=1}^5 x_i^2=55, \bar{y}=26$.
第 33 届夏季奥林匹克运动会运动会于 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在法国巴黎举行, 共设置射击、游泳、田径、篮球等 32 个大项，329 个小项.共有来自 120 多个国家的近万名运动健儿同台竞技.我国也将派出强大的阵容在多个项目上参与奖牌的争夺. 武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动, 努力让大家更多的了解奥运会的相关知识. 武汉市体育局为了解广大民众对奥运会知识的知晓情况, 在全市开展了网上问卷调查, 民众参与度极高, 现从大批参与者中随机抽取 200 名幸运参与者, 他们得分（满分 100 分) 数据, 统计结果如下:
(1) 若此次问卷调查得分整体服从正态分布, 用样本来估计总体, 设 $\mu, \sigma$ 分别为这 200 人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表）, 求 $\mu, \sigma$ 的值 ( $\mu, \sigma$ 的值四舍五入取整数) 并计算 $P(51 < X < 93)$;
（2）在 (1) 的条件下, 为感谢大家参与这次活动, 市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案: 得分低于 $\mu$ 的可以获得 1 次抽奖机会, 得分不低于 $\mu$ 的可获得 2 次抽奖机会, 在一次抽奖中, 抽中价值为 15 元的纪念品 $A$ 的概率为 $\frac{2}{3}$, 抽中价值为 30 元的纪念品 $B$ 的概率为 $\frac{1}{3}$. 现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者, 记 $Y$ 为他参加活动获得纪念品的总价值, 求 $Y$ 的分布列和数学期望.
(参考数据: $P(\mu-\sigma < X \leqslant \mu+\sigma) \approx 0.6827, P(\mu-2 \sigma < X \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 0.9545$,
$$
P(\mu-3 \sigma < X \leqslant \mu+3 \sigma) \approx 0.9973)
$$
定义: 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和, 形成新的数列, 我们把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1,2,3 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1,3,2,5,3 ; 第二次 “和扩充”后得到数列 $1,4,3,5,2,7,5,8,3$. 设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 $P_n$, 所有项的和为 $S_n$.
(1) 若 $a=2, b=3, c=4$, 求 $P_2, S_2$;
（2）若 $P_n \geq 2024$, 求正整数 $n$ 的最小值;
(3) 是否存在数列 $a, b, c(a, b, c \in \mathbf{R})$, 使得数列 $\left\{S_n\right\}$ 为等比数列? 请说明理由.