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数学

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

Q = (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{array}), P

为三阶非零矩阵, 且满足

P Q = 0

, 则

A.

t = 6

时,

P

的秩必为 1

B.

t = 6

时,

P

的秩必为 2

C.

t \neq 6

时,

P

的秩必为 1

D.

t \neq 6

时,

P

的秩必为 2

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2. 设

A, B

都是

n

阶非零矩阵，且

A B = 0

，则

A

和

B

的秩

A.

必有一个等于零

B.

都小于

n

C.

一个小于

n

，一个等于

n

D.

都等于

n

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3. 设

n (n \geq 3)

阶矩阵

A = (\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & \dots & a \\ a & 1 & a & \dots & a \\ a & a & 1 & \dots & a \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a & a & a & \dots & 1 \end{array})

, 若矩阵

A

的秩为

n - 1

，则

a

必为

A.

1

B.

\frac{1}{1 - n}

C.

-1

D.

\frac{1}{n - 1}

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4. 设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，则

A.

当

m > n

时，必有行列式

| A B | \neq 0

B.

当

m > n

时，必有行列式

| A B | = 0

C.

当

n > m

时，必有行列式

| A B | \neq 0

D.

当

n > m

时，必有行列式

| A B | = 0

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5. 设三阶矩阵

A = (\begin{array}{lll} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{array})

，若

A

的伴随矩阵的秩等于1，则必有

A.

a = b

或

a + 2 b = 0

B.

a = b

或

a + 2 b \neq 0

C.

a \neq b

且

a + 2 b = 0

D.

a \neq b

且

a + 2 b \neq 0

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6. 设

A

为

m \times n

型矩阵，

B

为

n \times m

型矩阵，

E

为

m

阶单位矩阵. 若

A B = E

，则

A.

秩

r (A) = m

，秩

r (B) = m

B.

秩

r (A) = m

，秩

r (B) = n

C.

秩

r (A) = n

，秩

r (B) = m

D.

秩

r (A) = n

，秩

r (B) = n

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二、判断题（共 1 题）

7. 若

A

和

B

都是

n

阶非零方阵，且

A B = 0

，则

A

的秩必小于

n

.

A.

正确

B.

错误

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三、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 设

A = (\begin{array}{cccc} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \dots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{2} b_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \dots & a_{n} b_{n} \end{array})

, 其中

a_{i} \neq 0, b_{i} \neq 0 (i = 1, 2, \dots, n)

, 则矩阵

A

的秩

r (A) =

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9. 设

A

是

4 \times 3

矩阵, 且

A

的秩

r (A) = 2

, 而

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 \end{array})

, 则

r (A B) =

.

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10. 设 4 阶方阵

A

的秩为 2 ，则其伴随矩阵

A^{*}

的秩为

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11. 设

A = (\begin{array}{cccc} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \end{array})

，且秩

(A) = 3

，则

k =

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12. 设矩阵

A = (\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A^{3}

的秩为

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13. 设矩阵

A = (\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A^{3}

的秩为

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14. 设三阶矩阵

A

的特征值互不相同，且行列式

| A | = 0

，则

A

的秩为

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15. 设

α

为三维单位列向量，

E

为三阶单位矩阵，则矩阵

E - α α^{T}

的秩为

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四、解答题（共 1 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设

A

为

m

阶实对称矩阵且正定，

B

为

m \times n

实矩阵，

B^{T}

为

B

的转置矩阵，试证:

B^{T} A B

为正定矩阵的充分必要条件是

B

的秩

r (B) = n

.

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