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试卷10

数学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 下列广义积分收敛的是

A.

\int_{0}^{1} \ln x d x

B.

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x

C.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}

D.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x \ln x}

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2.

lim_{n \to \infty} \frac{π}{2 n^{4}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} i^{2} \sin \frac{π j}{2 n} =

A.

\frac{1}{2}

.

B.

\frac{1}{3}

.

C.

\frac{1}{4}

.

D.

\frac{1}{5}

.

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3. 已知

F (x)

为

f (x)

的一个原函数, 则

\int x f^{'} (2 x) d x =

A.

\frac{1}{4} x F^{'} (2 x) + \frac{1}{2} F (2 x) + C

.

B.

\frac{1}{4} x F^{'} (2 x) - \frac{1}{2} F (2 x) + C

.

C.

\frac{1}{2} x F^{'} (2 x) + \frac{1}{4} F (2 x) + C

.

D.

\frac{1}{2} x F^{'} (2 x) - \frac{1}{4} F (2 x) + C

.

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4. 以下说法正确的是( ).

A.

如果函数

f (x)

在区间

[a, b]

上有定义，则

f (x)

在区间

[a, b]

上可积

B.

如果

f (x)

在区间

[a, b]

上可积，则

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

,

x \in [a, b]

可导

C.

如果函数

f (x)

在区间

[a, b]

上连续，

c \in (a, b)

，则

\frac{d}{d x} \int_{c}^{x} f (t) d t = f (x)

D.

如果

f (x)

是定义在区间

[- a, a] (a > 0)

上的奇函数，则

\int_{- a}^{a} f (t) d t = 0

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5. 设

f (x) = \int_{0}^{\sqrt{1 + x} - 1} \ln (1 + t) d t, g (x) = \int_{0}^{\sqrt{x}} \arcsin t d t

，则当

x \to 0

时，下列结论正确的是 ( ).

A.

f (x)

是比

g (x)

高阶的无穷小

B.

f (x)

是比

g (x)

低阶的无穷小

C.

f (x)

与

g (x)

是同阶的无穷小，但不等价

D.

f (x)

与

g (x)

是等价无穷小

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6. 设

f (x)

是以

T

为周期的周期函数，则

\int_{a + k T}^{a + (k + 1) T} f (x) d x

的积分值( )

A.

仅与

a

有关

B.

仅与

a

无关

C.

与

a

和

k

都无关

D.

与

a

和

k

都有关

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7. 下列积分收敛的是 ( ).

A.

\int_{1}^{2} \frac{d x}{(\ln x)^{3}}

B.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x

C.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x \ln x}

D.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + \frac{1}{5} x} d x

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8. 已知平面区域

D_{1} = {(x, y) | 0 ⩽ y ⩽ x ⩽ \frac{π}{2}}, D_{2} = {(x, y) | 0 ⩽ x ⩽ y ⩽ \frac{π}{2}}

,

D_{3} = {(x, y) | \frac{π}{2} ⩽ x ⩽ y ⩽ π}

, 记

I_{1} = \iint_{D_{1}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y, I_{2} = \iint_{D_{2}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y

,

I_{3} = \iint_{D_{3}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y

, 则

A.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

.

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

.

C.

I_{1} < I_{3} < I_{2}

.

D.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

.

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二、填空题（共 14 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

f (x)

的原函数为

\frac{\ln x}{x}

，则

\int f^{'} (x) d x =

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10.

\int_{- 1}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{3} x) d x =

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11. 计算

\int x \sin x d x

.

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12. 计算广义积分

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + | x |) \sqrt{| x (1 - x) |}} d x =

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13. 设

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{\sin x t}{t} d t, x \neq 0

, 则

\int x^{2} f^{'} (x) d x =

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14. 设曲线

y = \frac{x}{\sqrt{1 + n x^{2}}}

(

n

为正整数) 与

x = 1

及

x

轴所围区域绕

x

轴旋转一周所得体积为

V_{n}

, 则

lim_{n \to \infty} n V_{n} =

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15.

lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{t} d x \int_{0}^{t - x} e^{- (x^{2} + y^{2})} d y =

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16. 设

φ (u)

为连续函数, 且

\int_{y}^{x} φ (t - x - y) d t = x^{2} + y^{2} + z

, 则

y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} =

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17. 设

α

为实数, 则

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{(1 + x^{2}) (1 + x^{a})} =

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18.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \dots + \frac{n - 1}{n^{2}}) =

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19. 若

f (x)

有连续导数，且

\int_{0}^{π} f (x) \sin x d x = k, f (π) = - 2, f (0) = 5,

则

\int_{0}^{π} f^{'} (x) \cos x d x =

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20. 设区域

D = {(x, y) ∣ y ⩾ x^{2} - 2, y ⩽ x ⩽ 1}

, 则二重积分

\iint_{D} x (2 e^{y} - e^{- y}) d x d y =

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21. 若常数

a > 0

, 则二重积分

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq a^{2}} \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} d x d y =

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22. 二重积分

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} d x d y =

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三、解答题（共 18 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

23. 计算

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x - \sin x}{1 + \cos x} d x

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24. 求函数

f (x) = \int_{0}^{x} (t - 1) (t - 2)^{2} d t

的极值和它所表示的曲线的拐点的横坐标.

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25. 计算

\int_{0}^{\ln 2} \sqrt{e^{x} - 1} d x

.

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26. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{e^{x}}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1})

.

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27. 求曲线

y = \ln x (2 \leq x \leq 6)

的一切线，使得该切线与直线

x = 2 ， x = 6

及曲线

y = \ln x

围成图形面积

A

最小。

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28. 计算

\iint_{D} \frac{1 - x^{2} y^{3}}{{(x + \sqrt{1 - y^{2}})}^{2}} d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, - x ⩽ y ⩽ x}

.

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29. 设

D = {(x, y) ∣ 0 ⩽ y ⩽ 1 - x, 0 ⩽ x ⩽ 1}

, 计算

I = \iint_{D} e^{\frac{x}{x + y}} d x d y

.

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30. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

, 计算

I = \iint_{D} 2 x y e^{x^{2} - y^{2}} d x d y

.

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31. 计算定积分

\int_{- 1}^{1} \frac{2 x^{2} + x \cos x}{1 + \sqrt{1 - x^{2}}} d x

.

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32. 设函数

f (x)

连续，且

\int_{0}^{x} t f (2 x - t) d t = \frac{1}{2} \arctan (x^{2})

. 已知

f (1) = 1

，
求

\int_{1}^{2} f (x) d x

的值.

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33. 设

a

为大于 1 的常数，

f (x)

是连续函数，证明

\int_{1}^{a} f (x^{2} + \frac{a^{2}}{x^{2}}) \frac{1}{x} d x = \int_{1}^{a} f (x + \frac{a^{2}}{x}) \frac{1}{x} d x .

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34. 函数

f (x, y) = {\begin{cases} x y e^{e^{2} - y^{2}}, & x < 0, \\ | x - y |, & x ⩾ 0, \end{cases}

区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, y ⩾ 0}

,计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d σ

.

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35. 计算二重积分

\iint_{D} [\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + (x - 1) y^{2}] d σ

, 其中

D : x^{2} + y^{2} ⩽ 2 x

,

y ⩾ 0

.

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36. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, x + y ⩾ 0}

, 求

\iint_{D} \frac{1 + x y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}} d σ

.

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37. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{(x - y)^{2} + 2}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩾ 2, x ⩽ 1}

.

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38. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 3, x \geq 0}

, 计算二重积分

I = \iint_{D} \ln (1 + x^{2} + y^{2}) d σ

.

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39. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 3, x \geq 0}

, 计算二重积分

I = \iint_{D} \ln (1 + x^{2} + y^{2}) d σ

.

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40. 设二元函数

f (x, y)

连续, 且满足

f (x, y) = x^{2} \oint_{L} f (x, y) d s + x y \iint_{D} f (x, y) d σ - 1 ，

其中

D

为圆周

L : x^{2} + y^{2} = 1

所围成的闭区域.
(1) 试求

f (x, y)

的表达式;
(2) 试证明:

\oint_{L} y f (x, y) d x + x f (x, y) d y = \frac{π}{2} \oint_{L} f (x, y) d s

，

其中

L

为逆时针方向.

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