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试卷9

数学

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设积分

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + x^{a}) \ln (1 + x^{b})} d x

, 其中

a > 0, b > 0

, 若该积分收玫, 则必有

A.

0 < a < 1, 0 < b < 1

B.

0 < a < 1, b > 1

C.

a > 1, 0 < b < 1

D.

a > 1, b > 1

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2. 设

I_{1} = \iint_{D} (x + y) sgn (x + y) d x d y, I_{2} = \iint_{D} (x - y) sgn (x - y) d x d y

, 其中符号函数

sgn x = {\begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ - 1, & x < 0, \end{cases}

A.

I_{1} > I_{2}

B.

I_{1} < I_{2}

C.

I_{1} = I_{2}

D.

I_{1} = - I_{2}

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3. 设函数

f (x)

连续, 则下列结论不成立的是

A.

\int_{0}^{π} f (\sin x) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

B.

\int_{0}^{π} x f (\sin x) d x = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

C.

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} [f (x) + f (- x)] d x

D.

\int_{- 1}^{1} x f (x) d x = \int_{0}^{1} x [f (x) + f (- x)] d x

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4. 设

L : x^{2} + y^{2} = R^{2} (R > 0)

, 则曲线积分

\int_{L} (x^{2} + y^{2}) d s =

A.

π R^{2}

;

B.

π R^{3}

;

C.

2 π R^{2}

;

D.

2 π R^{3}

.

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二、填空题（共 17 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 计算积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin \frac{2 n + 1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}} d x

，其中

n

为正整数.

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6. 定积分

I = \int_{0}^{π} \cos (\sin^{2} x) \cos x d x =

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7. 定积分

I = \int_{0}^{π} \cos (\sin^{2} x) \cos x d x =

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8. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

上可导, 且

f (0) = 0

, 其反函数为

g (x)

, 满足

\int_{0}^{f (x)} g (t) d t = (x - 1) e^{x} + x^{2} + 1,

则

f (x)

的表达式为

f (x) =

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9. 定积分

I = \int_{0}^{π} \cos (\sin^{2} x) \cos x d x =

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10. (1)

\int x e^{- x^{2}} d x = \underset{―}{}

.

(2)

\int \frac{x}{1 + x^{4}} d x = \underset{―}{}

.

(3)

\int \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}} d x = \underset{―}{}

.

(4)

\int x \sqrt{x^{2} + 4} d x = \underset{―}{}

.

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11. (1)

\int \frac{1}{x^{2}} \tan^{2} \frac{1}{x} d x = \underset{―}{}

.

(2)

\int (1 - \frac{1}{x^{2}}) e^{x + \frac{1}{x}} d x = \underset{―}{}

.

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12. (1)

\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x = \underset{―}{}

.
(2)

\int \frac{d x}{\sqrt{x} (1 + x)} = \underset{―}{}

.
(3)

\int \frac{d x}{\sqrt{x - x^{2}}} = \underset{―}{}

.
(4)

\int \frac{d x}{\sqrt{x} (2 + \sqrt{x})} = \underset{―}{}

.

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13. (1)

\int \frac{d x}{x \ln^{2} x} = \underset{―}{}

.
(2)

\int \frac{(\ln \ln x)^{2} d x}{x \ln x} = \underset{―}{}

.
(3)

\int \frac{1 + \ln x}{(x \ln x)^{2}} d x = \underset{―}{}

.

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14. (1)

\int e^{x + e^{x}} d x = \underset{―}{}

.
(2)

\int \frac{e^{x} d x}{2 + e^{2 x}} = \underset{―}{}

.
(3)

\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} - 1}} d x = \underset{―}{}

.

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15. (1)

\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} d x = \underset{―}{}

.
(2)

\int \frac{x}{(2 x + 3)^{2}} d x = \underset{―}{}

.
(3)

\int \frac{d x}{x^{2} + 2 x + 5} = \underset{―}{}

.

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16. (1)

\int \sin^{2} x \cos x d x = \underset{―}{}

.

(2)

\int \frac{\cos x - \sin x}{(\sin x + \cos x)^{2}} d x = \underset{―}{}

.

(3)

\int \frac{\sin 2 x}{4 + \sin^{4} x} d x = \underset{―}{}

.

(4)

\int \tan^{4} x d x = \underset{―}{}

.

(5)

\int \tan^{3} x \sec x d x = \underset{―}{}

.

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17. (1)

\int x e^{- 2 x} d x = \underset{―}{}

.

(2)

\int x^{2} \ln x d x = \underset{―}{}

.

(3)

\int x \arctan x d x = \underset{―}{}

.

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18. (1)

\int \arcsin x d x = \underset{―}{}

.
(2)

\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \arctan x d x = \underset{―}{}

.

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19.

\int e^{2 x} \cos x d x = \underset{―}{}

.

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20.

\int \frac{\sin x d x}{\sin x + 2 \cos x}

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21.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{x^{2}}{x^{6} + 1} d x =

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三、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

22. 设函数

f (x)

在

[0, a]

上有连续的导数，且

f (0) = 0

，证明

| \int_{0}^{a} f (x) d x | \leq \frac{M a^{2}}{2}

，其中

M = max_{0 \leq x \leq a} | f^{'} (x) |

.

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23. 设

f (x), g (x)

在

[0, 1]

上具有连续导数，且

f (0) = 0, f^{'} (x) \geq 0, g^{'} (x) \geq 0

. 证明: 对于任意

a \in [0, 1]

，有

\int_{0}^{a} g (x) f^{'} (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) g^{'} (x) d x \geq f (a) g (1)

.

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24. 求极限

lim_{n \to \infty} {(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1 + x} d x)}^{n}

.

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25. 在高中，我们学过了阶乘，其定义为

n! = 1 * 2 * 3 \cdot \cdot \cdot n

, 这里

n

为0或者正整数，其中规定

0! = 1

, 例如

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

, 那么你知道

(\frac{1}{2})!

是多少吗？

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26. 计算下列不定积分
(1)

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x

.

(2)

\int \frac{x}{4 + x^{4}} d x

.

(3)

\int x \ln (1 + x^{2}) d x

.

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27. 计算下列不定积分
(1)

\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x} (1 + x)} d x

.

(2)

\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x (1 - x)}} d x

.

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28. 计算下列不定积分
(1)

\int \frac{d x}{1 + \cos x}

.

(2)

\int \frac{\cos^{2} x d x}{1 + \cos x} d x

.

(3)

\int \frac{1 + \cos x}{1 + \sin x} d x

.

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29. 计算下列不定积分
(1)

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

.

(2)

\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

.

(3)

\int \frac{d x}{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}

.

(4)

\int \frac{d x}{x \sqrt{1 + x^{2}}}

.

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30. 计算下列不定积分
(1)

\int \frac{4 x^{3} + 3 x + 3}{(2 x + 1)^{2}} d x

.

(2)

\int \frac{d x}{x^{2} + x - 2}

.

(3)

\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + x} d x

.

(4)

\int \frac{d x}{x (1 + x^{2})}

.

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31. 设

\frac{\sin x}{x}

为

f (x)

的一个原函数，求

\int f^{'} (2 x - 1) d x

.

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32. 求

\int \frac{x e^{x}}{(1 + x)^{2}} d x

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33. 求

\int \frac{d x}{x \sqrt{1 + x^{3} + x^{6}}}

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34. 求

\int \frac{x e^{\arctan x}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x

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35.

\int \frac{d x}{\sin x}

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36.

\int \frac{d x}{\cos x}

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37.

\int \frac{d x}{a \sin x + b \cos x} (a, b \neq 0)

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38.

\int \frac{\cos^{3} x d x}{\sin x + \cos x}

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39. 计算

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{e^{x} + e^{2 - x}}

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40. 设

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{π - t} d t

计算

\int_{0}^{π} f (x) d x

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